2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案：3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.5.2简单线性规划课堂探究学案含答案.docVIP

3.5.2　简单线性规划 一、图解法求最值的实质 剖析：设目标函数为z＝Ax＋By＋C(AB≠0)，由z＝Ax＋By＋C得y＝－x＋．这样，二元一次函数就可以视为斜率为－，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行线．于是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．当B>0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小． (1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点． (2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误． 二、常见的线性规划问题类型 剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务． (2)线性规划问题的常见类型有： ①物资调运问题 例如已知A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？ ②产品安排问题 例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？ 题型一线性目标函数的最值问题 【例1】 (1)(2013·四川高考，文8)若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是(　　) A．48 B．30 C．24 D．16 解析：画出可行域，如图． 联立解得即A点坐标为(4，4)， 由线性规划可知，zmax＝5×4－4＝16，zmin＝0－8＝－8，即a＝16，b＝－8， ∴a－b＝24．故选C． 答案：C(2)(2013·课标全国Ⅱ高考，理9)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示， 作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得a＝，所以a＝． 答案：B 解决线性目标函数的最值问题一般用图解法，但应注意作图要规范，且要弄清函数值与截距的内在联系；对于第(2)小题属逆向问题，在解决时也要正向解答．题型二非线性目标函数的最值问题 【例2】 已知求： (1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值； (2)z＝的取值范围． 分析：(1)中z＝x2＋y2－10y＋25＝(x－0)2＋(y－5)2的几何意义为平面区域内的点(x，y)到(0，5)的距离的平方；(2)z＝＝2·的几何意义为平面区域内的点(x，y)与连线斜率的2倍．关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结合知识求解． 解：作出可行域，如图阴影部分所示． 可求得A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)． (1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0，5)的距离的平方，过M作MN⊥AC于N，则|MN|＝＝＝． 所以|MN|2＝，所以z＝x2＋y2－10y＋25的最小值为． (2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍． ∵kQA＝，kQB＝，故z的取值范围是． (1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题． (2)对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)与连线斜率的倍的范围、最值等，注意斜率不存在的情况． (3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．题型三简单的线性规划问题 【例3】 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0．5元，米饭每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0．4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？ 分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之．先作可行域，再作出初始直线l0，通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点，便得最优解，再进一步求最值． 解：设每盒盒饭需要面食x(百克)，米