高级微观经济学1-3章框架.doc

第1-3章：消费者理论 一、形式化表述分析消费者偏好的性质 （完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等） *二、效用函数存在性证明。 请参考教材 三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。 考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为（2，4）时，其需求为（1，2）。当价格为（6，3）时，其需求为（2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。 如果（1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。 解答： 消费束1偏好于消费束2 消费束2偏好于消费束1 违反了显示性偏好弱公理。 如果（1.4，1）时： 消费束1偏好于消费束2 消费束1在价格2的情况下买不起。符合显示性偏好弱公理。 四、效用函数，求瓦尔拉斯需求函数 解答：从效用函数可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，， 或者由,可得到 实际上，这是一个边角解， 五、设效用函数，其中；这就是常（或不变）替代弹性（CES）效用函数。求： （1）瓦尔拉斯需求函数； （2）间接效用函数； （3）验证间接效用函数关于价格与收入是零次齐次的； （4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的； （5）验证罗伊恒等式； （6）求希克斯需求函数； （7）求支出函数； （8）从它对应的间接效用函数推导出支出函数，及从支出函数推导出间接效用函数。 （9）验证 （1）求瓦尔拉斯需求函数 列出拉格朗日函数： 三个一阶条件： ； ； 整理，得： ； 求解，得： ； 上式就是消费者的瓦尔拉斯需求函数。如果定义，便可将瓦尔拉斯需求函数化简为： ； （2）求间接效用函数 将上述两个瓦尔拉斯需求函数代入直接效用函数，可得间接效用函数： （3）验证间接效用函数关于价格和收入的零次齐次性； （4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的，对它求关于收入与任何价格的微分，得： （5）验证罗伊等式： 间接效用函数对价格求导除以间接效用函数对收入求导，别忘了乘-1！ （6）求解支出最小化问题 其拉格朗日函数为： 三个一阶条件为： ； ； 通过消去，这些式子被简化为： ； 令，可解出希克斯需求函数： （7）将希克斯需求函数代入目标函数，可得支出函数： （8）从间接效用函数推导出支出函数 间接效用函数为： 将替换为u，解出y ； 再将y替换为，得到支出函数为： 从支出函数推导出间接效用函数 支出函数为： 将u替换为，将替换为y，解出。 （9）瓦尔拉斯需求函数为： ，将y替换为支出函数得： 六、效用函数，对其求 1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数； 2、希克斯需求函数，支出函数。 答案： 1、，， 2、，， 七、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，*并证明其中的凹凸性性质。 请参考教材 *八、证明对偶原理中的1.2. 请参考教材 *九、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集。假定。证明：如果是一个凸集，则也是凸集。 答案：B, xB,[0,1]. 令x=x+(1-) x,因为x是一个凸集，所以xX. 故p?????x=(p?x)+ (1-)(p?x)≤w+ (1-)w=w 因此，xB. 十、效用函数，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。 答案：； （2）间接效用函数： （3）希克斯需求函数：； （4）验证第一种商品的斯拉茨基方程： 第一步：计算收入效应 ， 第二步：计算替代效应（把u替换为间接效用函数） ， 代入，得到： 第三步：计算总效应 第四步：验证总效应=替代效应+收入效应 ，， 显然 十一、效用函数，求其货币度量的直接和间接效用函数。 答案： 十二、效用函数，当，，求其等价变化和补偿变化。 答案： 支出函数： 1．先求等价变化： “老价格，新效用，计算支出函数” 老价格为： 新效用为： 则等价变化为 2．补偿变化： “新价格，老效用，计算支出函数” 老效用： 补偿变化为： 十三、分析福利分析在税收方面的应用。 请参考教材十、，假定，，，对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。 解答：max s.t. 1．求瓦尔拉斯需求函数 （1）建立拉格朗日函数 （2）求极值一阶条件 (a) (b) (c) 由(a)和(b)整理得： （3）瓦尔拉斯需求函数 分别将，代入预算约束(c)，有 2．求间接效用函数 将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数，有 3．求支出函数 由间接效用函数，求反函数得： 4．求希克斯需求函数 法一：将支出函数 代入瓦尔拉斯需求函数，得到 法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克