毕业论文：几种数学思想在数学问题中的应用.docVIP

几种数学思想在数学问题中的应用 摘要： 数学思想对中学数学的教学意义重大,在教学中渗透方程思想,分类讨论思想,数形结合思想,整体思想,化归思想,变换思想,辩证思想等多种数学思想方法，可以培养学生的思维能力,从而提高学生的学习效果。中学数学教学过程,实质上是运用各种教学理论进行数学知识教学的过程。在这个过程中,必然要涉及数学思想的问题。数学思想是人类思想文化宝库中的瑰宝,是数学的精髓,它对数学教学具有决定性的指导意义。 关键词：方程思想 分类讨论思想 数形结合思想 整体思想 化归思想 变换思想 辩证思想 前言 ??? 数学教学的目的既要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能,还要求 发展 学生的能力,培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中,数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势,它是学生形成良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。因此,在数学教学中,教师除了基础知识和基本技能的教学外,还应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。从初中阶段就重视数学思想方法的渗透,将为学生后续学习打下坚实的基础,会使学生终生受益。 1中学数学教学中应运用的思想方法 ??? (1)方程思想众所周知,方程思想是初等代数思想方法的主体,应用十分广泛,可谓数学大厦基石之一,在众多的数学思想中显得十分重要。所谓方程思想,主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法,如列方程解应用题,求函数解析式,利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等。教学时,可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时,可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数,可把他们看成三个“未知量”,告诉学生利用方程思想来解决,那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系： 当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格。 （1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域； （2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？ 解：（1）依题设有 化简得 当判别式时， 可得 由，得不等式组 ① ② 解不等式组①，得，不等式组②无解。 故所求的函数关系式为 函数的定义域为［0，］ （2）为使，应有 化简得 解得或，由于，知 从而政府补贴至少为每千克1元。 在这里如果单讲解题步骤,就会显得呆板、僵硬,学生只知其然,不知其所以然。与此同时,还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想,诸如换元,消元,降次,函数,化归,整体,分类等思想,这样可起到拨亮一盏灯,照亮一大片的作用。 ??? (2)分类讨论思想分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例如,对三角形全等识别方法的探索,教材中的思考题:如果两个三角形有三个部分(边或角)分别对应相等,那么有哪几种可能的情况?ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。 解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当△ABC的高在形内时，由，得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。 如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形。 由，得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25° ∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115° 同时,教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论,由简到繁,一步步得出,教学时要让学生体验这种思想方法。 ??? (3)数形结合思想数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x两个交点间的距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）． （1）求函数f（x）的表达式； （2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解。 分析 用数形结合思想求f（x）－f（a）=0解的个数． 解 ：（1）由已知，设f1（x）=bx2，由f1（x）=1，得b=1．∴f1（x）=x2． 设f2（x）=（k＞0），则其图象与直线y=x的交点分别为A（k，k），B（－k，－k），由|AB|=8，得k=8， ∴f2（x）=，故f（x）=x2+． （2）