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§5.3 实对称矩阵的对角化 得基础解系 * * 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵可对角化的步骤(重点) 三、可对角化的矩阵的应用 性质1 实对称矩阵的特征值为实数.(证明略) 一、实对称矩阵的性质 性质1的意义 因为对称矩阵 的特征值 为实数,所以齐次线性方程组 又因为 ,可知该齐次线性方程组一定有实的 基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量。 是实系数方程组。 注 未必所有的实矩阵对应的特征值都是实数。 性质2 实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量正交。 是依次与之对应的特征向量。 证 设 是对称矩阵 的两个特征值,且 则 于是 为实对称矩阵, 即 正交。 例: A 定理5.3.1 (实对称矩阵必可对角化) 对于任一 阶实对称矩阵 , 其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角阵。 一定存在 n 阶正交矩阵 使得 推论: 为 阶实对称矩阵, 是 的 重特征值, 即 的基础解系所含向量个数为 则对应于 的特征向量中,线性无关的向量的个数为 (则 ) 知道结论即可 二、实对称矩阵(正交)对角化的结论 证明: A为实对称矩阵,则A必可对角化。 即 的基础解系所含向量个数为 例1 设 求正交矩阵 , 使得 为对角阵。 解 当 时,齐次线性方程组为 得基础解系 当 时,齐次线性方程组为 得基础解系 之间是什么关系? 令 先正交化: 再单位化:令 单位化得 得正交矩阵 唯一吗? 求正交矩阵 ,把实对称矩阵 化为对角阵的方法: 1. 解特征方程 求出对称阵 的全部不同的特征值。 即求齐次线性方程组 的基础解系。 3. 将属于每个 的特征向量先正交化,再单位化。 2. 对每个特征值 ,求出对应的特征向量, 这样共可得到 个两两正交的单位特征向量 4. 以 为列向量构成正交矩阵 有 即 必须注意:对角阵中 的顺序 要与特征向量 的排列顺序一致。 例2 设 求正交矩阵 , 使得 为对角阵。 解 当 时,由 即 得基础解系 当 时,由 即 得基础解系 当 时,由 即 得基础解系 只需把 单位化,得 (考虑为什么?) 得正交矩阵 有 只需把 单位化,得 只需把 单位化,得 解 秩 设 的特征向量为 则 例3 设3阶实对称矩阵A的特征值为 ,已知 ,相对应的特征向量分别为 , 求 的值及矩阵 A. 思考 求A,C还有没有别的取法? 练习:求正交阵P,使下列方阵化为对角阵 把一个矩阵化为对角阵,不仅可以使矩阵运算简化,而且 在理论和应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用: 1. 由特征值、特征向量反求矩阵 例4:已知方阵 的特征值是 相应的特征向量是 求矩阵
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