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线 性 代 数 第二章 矩阵及其运算 一、概念的引入 二、逆矩阵的概念和性质 三、逆矩阵的求法 四、小结 思考题 思考题解答 * * 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵. 在数的运算中, 当数 时, 有 其中 为 的倒数, (或称 的逆); 在矩阵的运算中, 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1, 那么,对于矩阵 , 如果存在一个矩阵 , 使得 定义 对于 阶矩阵 ,如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的,并把矩阵 称为 的逆矩阵. ,使得 例 设 说明 若 是可逆矩阵,则 的逆矩阵是唯一的. 若设 和 是 的可逆矩阵, 则有 可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即 例 设 解 设 是 的逆矩阵, 则 利用待定系数法 又因为 所以 定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ,且 证明 若 可逆, 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 推论 证明 逆矩阵的运算性质 证明 证明 例1 求方阵 的逆矩阵. 解 同理可得 故 解 例2 例3 设 解 于是 例4 例5 解 给方程两端左乘矩阵 给方程两端右乘矩阵 得 给方程两端左乘矩阵 得 给方程两端右乘矩阵 解 例6
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