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* 非线性规划 如果目标函数或约束条件中包含有非线性函数，就称这种优化模型为非线性规划问题，解这种问题要用非线性规划方法。 为约束函数，这些函数中，至少有一个是非线性函数 其中 ， 为目标函数， 非线性规划: 在等式或不等式约束下优化某个目标函数，求出最优解。 一般可表示成： 为无约束优化问题 特别称 称S为可行集或可行域,S中的点称为可行点。这样约束条件可用集约束表示 S = 一些相关的概念: 整体最优解:设f(x)为目标函数,S为可行域x*∈S,若对任意x∈S成立f(x*) ≤f(x) ,则称x*为极小化问题的最优解 局部最优解:若存在x*的某邻域，使得对该邻域中的每个x成立f(x*)≤f(x)，则称x*为极小化问题的局部最优解。 为f(x) 在点x处的Hesse矩阵（如果二阶偏导数存在） 梯度:称向量 为f(x)（如果一阶偏导数存在）在点x处的梯度 局部极小点的充分条件：设函数f(x)在点x*处二次可微，若梯度▽f(x*)=0，且Hesse矩阵正定，则x*是局部极小点。 无约束问题 的极值条件: 一阶必要条件:设函数f(x)在点x*处可微,若x*是局部极小点,则梯度▽f(x*)=0 二阶必要条件:设函数f(x)在点x*处二次可微,若x*是局部极小点, 则梯度▽f(x*)=0,且Hesse矩阵半正定。 下降方向:设向量d是x*点的任一方向,若存在?>0,对每个实数??(0,?),都有 f(x*+?d)<f(x*),则称d为函数f(x)在x*处的下降方向。如果f(x)是可微函数,且▽ ▽f(x*)Td<0，则d为f(x)在x*处下降方向可行方向:设x?S,向量d是x点的某一方向,若存在?>0,对每个实数??(0,?),都有x*+?d∈S,则称d为x*点的一个可行方向。 约束问题的最优性条件: S是可行域 对一个可行解x*，对于约束gi(x*)≥0如等式成立，则称该约束是在x*点的一个起作用约束。通常将所有等式成立的约束条件一并称为在x*处的起作用约束。 起作用约束在x 的邻域限制了可行点的范围，也就是说，当点沿某些方向稍微离开x时，仍能满足这些约束条件；而沿着另一些方向离开x时，不论步长多么小，都将违背这些约束条件； 所有在x*处严格不等式成立的约束条件一并称为在x*处的不起作用约束。 凸集:Rn中集合S,对任意两点x(1)和x(2) ∈S及??[0,1],有?x(1)+(1-?)x(2)∈S,则S为凸集,?x(1)+(1-?)x(2) 为x(1)和x(2)的凸组合。 凸函数:设S为Rn中非空凸集,f是S上的实函数,若对任意的x(1)和x(2) ∈S及??[0, 1] 都有 则称f为S上的凸函数。 严格凸函数:如果对任意相异的两点,上面严格不等式成立,则称f为S上的严格凸函数 如果-f为S上的凸函数,则f为S上的凹函数。 迭代下降法算法:一般步骤是,得到点x(k)后，按某种规则确定一个方向d(k),从x(k)出发沿此方向在直线（或射线）上求目标函数的极小点,从而得到x(k)的后继点x(k+1),再从x(k+1)出发重复以上步骤,直至求出问题的解,这种方法称为一维搜索或线搜索。 一维搜索可归结为单变量函数的极小化问题 *