高中数学高考复习中抽象函数周期问题复习.doc

抽象函数的周期问题 ——由一道高考题引出的几点思考 2001年高考数学（文科）第22题：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有。 （I）设求； （II）证明是周期函数。 解析：（I）解略。 （II）证明：依题设关于直线对称 故 又由是偶函数知 将上式中以代换，得 这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期 是偶函数的实质是的图象关于直线对称 又的图象关于对称，可得是周期函数 且2是它的一个周期 由此进行一般化推广，我们得到 思考一：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，证明是周期函数，且是它的一个周期。 证明：关于直线对称 又由是偶函数知 将上式中以代换，得 是上的周期函数 且是它的一个周期 思考二：设是定义在上的函数，其图象关于直线和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。 证明：关于直线对称 将上式的以代换得 是上的周期函数 且是它的一个周期 若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，还是不是周期函数？经过探索，我们得到 思考三：设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数，且4是它的一个周期。， 证明：关于对称 又由是奇函数知 将上式的以代换，得 是上的周期函数 且4是它的一个周期 是奇函数的实质是的图象关于原点（0，0）中心对称，又的图象关于直线对称，可得是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到 思考四：设是定义在上的函数，其图象关于点中心对称，且其图象关于直线对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。 证明：关于点对称 关于直线对称 将上式中的以代换，得 是上的周期函数 且是它的一个周期 由上我们发现，定义在上的函数，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则是上的周期函数。进一步我们想到，定义在上的函数，其图象如果有两个对称中心，那么是否为周期函数呢？经过探索，我们得到 思考五：设是定义在上的函数，其图象关于点和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。 证明：关于对称 将上式中的以代换，得 是周期函数 且是它的一个周期 抽象函数解法举例 已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 求证：①f(x)是R上的增函数 ②当nN,n≥3时,f(n) 解: ①设x1x2 g(x)是R上的增函数, 且g(x)0 g(x1) g(x2) 0 g(x1)+1 g(x2)+1 0 0 - 0 f(x1)- f(x2)=- =1--(1-) =-0 f(x1) f(x2) f(x)是R上的增函数 ② g(x) 满足g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 且g(x)0 g(n)=[ g(1)]n=2n 当nN,n≥3时, 2nn f(n)=＝1- ，＝1- 2n＝（1+1）n＝1+n+…++…+n+12n+1 2n+12n+2 ,即1-1- 当nN,n≥3时,f(n) 设f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单增,设 f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对于(0,+∞)上的任意两相异实数x1, x2 恒有| f1(x1)－ f1(x2)| | f2(x1)－ f2(x2)| ①求证：f (x)在(0,+∞)上单增. ②设F(x)=x f (x), a0、b0. 求证：F(a+b) F(a)+F(b) . ①证明:设 x1x20 f1(x) 在(0,+∞)上单增 f1(x1)－ f1(x2)0 | f1(x1)－ f1(x2)|= f1(x1)－ f1(x2)0 | f1(x1)－ f1(x2)| | f2(x1)－ f2(x2)| f1(x2)- f1(x1)f2(x1)－ f2(x2) f1(x1)－ f1(x2) f1(x1)+f2(x1) f1(x2)+ f2(x2) f(x1) f(x2) f (x)在(0,+∞)上单增 ②F(x)=x f (x), a0、b0 a+ba0,a+bb0 F