数学思想方法专题复习(配方法)18.doc

数学思想方法专题复习18： 配 方 法 一、概述与要点 在代数中，利用添项的方法，将原来的多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法。配方主要配交叉项2ab，后一个平方项a2(或b2)，到底如何配方，依据依赖于对题目的特点的观察和分析。 配方法是数学中的一种重要的数学思想方法，它在因式分解、恒等式、不等式的证明和函数、方程以及高中的解析几何都有广泛的应用。 下面结合例题，对配方法在初中数学中应用作简单的介绍。 二、例题精选 (1).配方法在因式分解中的应用 例1．分解因式： 解：原式= =4a2b2－(a2+b2－c2)2=(2ab+a2+b2－c2)(2ab－a2－b2+c2) =[(a+b)2－c2][(c2－(a－b)2)=(a+b+c)(a+b－c)(c－a+b)(c+a－b) (2) 配方法在整式证明中的应用 例2．证明：无论m取何值，关于x的方程（m2－6m+10）x2+4mx－5=0都是一个一元二次方程。 分析：要是方程（m2－6m+10）x2+4mx－5=0是一个一元二次方程，有定义可知，只要证明无论m取何值，（m2－6m+10）的值一定不等于零即可。 证明：m2－6m+10=m2－6m+9+1=(m－3)2+1 ∵ （m－3）2≥0 ∴(m－3)2＋1>0 ∵ 不论m取何值时，m2－6m+10≠0 ∵方程（m2－6m+10）x2+4mx－5=0一定是一个一元二次方程。 （3）配方法在解方程中的应用 应用配方法解一元二次方程，主要是将方程花为（x+a）2=b (b≥0)的形式，再利用直接应用开方法解方程。 例3．用配方法解方程：3x2+5x－1=0 解：3x2+5x－1=0 (化二次项系数为1) ∵ （ （方程两边同时加一次项系数一半的平方） ∵ ∵ ∵ 4．配方法在二次函数中的应用 例4．将二次函数改写成的形式，并写出抛物线图象的开口方向，顶点坐标及与y轴的交点坐标和与x轴的交点坐标。 解：= = ∵>0 ∴抛物线的开口方向向上 顶点坐标为（－3，2） 对称轴方程为x= －3 令x=0 ∴y= 因此图象与y轴交点为（0，） 令y=0 ∴ 即x2+6x+13=0 方程无实数解 ∴ 抛物线与x轴无交点。 例6．（97年重庆） 抛物线的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线的解析式，求b,c的值。 分析与简解：本例主要考查同学们平移抛物线及逆向思维的能力，此题原抛物线的解析式不知道，已知平移后的抛物线为，由数及形，由在平面直角坐标系内画出图形，再将题中的平移方向转化为反方向，即由抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，这样确定抛物线，实际确定了抛物线的顶点坐标为（4，－2）。“以形思数”，再根据顶点式，求出为y=(x－2)2－2=x2－8x+14 ∴b=－8 ,c=14. 三：习题于简解 1．（97年湖南）因式分解：x2－2xy－9＋y2； 2.已知x2－3x＋1=0 求的值； 3．（99年江苏盐城）已知关于x的方程(p为实数) （1）求证：此方程必有两个不相等的实数根； （2）设α，β是关于x的方程的两个根，且α<β,若，为方程的两根，求实数q的值。 4．如图：开口向下的抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A在x轴的正半轴，点B在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴，且BO=OC。 （1）求证：4a－ac=1； （2）如果点A的坐标为（2，0），求点B的坐标 （3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 答案 1、（x－y+3）(x－y－3) 2、7 3、q=± 4、（1）略 （2）B（6，0） （3）存在 P（－2，4）. 实验学校 徐正忠 这就是配方法！ C B y A x O 图11—1