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导数与不等式2013.3.6
导数与不等式
1.解不等式
2.单调与不单调问题
3.求参数的取值范围
4.证明函数不等式
例1..的单调区间;
(2)若,求不等式的解集.解:, 由,得 .
因为 当时,; 当时,; 当时,;
所以的单调增区间是:; 单调减区间是: .
(2)由,
得:.
故:当 时, 解集是:;当 时,解集是:;当 时, 解集是:.
例2.(2009年浙江卷文)已知函数 .
(I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值;
(II)若函数在区间上不单调,求的取值范围.
解析:(Ⅰ)由题意得.
又 ,解得,或.
(Ⅱ)函数在区间不单调,等价于导函数在既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数,即函数在上存在零点,根据零点存在定理,有,即:,
整理得:,解得.
解题策略: 函数在某区间上不单调,可以转化为在给定区间上有变号零点,可以通过求函数值域的方法解决,也可以利用根的分布方法解决.
例3.(2005 年全国卷(III)第22题)已知函数
(Ⅰ)求的单调区间和值域;
(Ⅱ)设,函数
使得成立,求a的取值范围.
解:(I)对函数求导,得
令解得
当变化时,的变化情况如下表:
0 (0,) (,1) 1 - 0 + -4 -3 所以,当时,是减函数;当时,是增函数.
当时,的值域为[-4,-3].
(II)对函数求导,得
因为,当时,
因此当时,为减函数,从而当时有
又即时有
任给,,存在使得,
则即
解①式得 ;解②式得
又,故a的取值范围为
评注 给定函数, 及区间,则对于任意的,总存在,使得成立
成立.
在主干条件“函数,”不变的前提下,下面对本题第二问作如下变式:
变式 1 若存在,使得成立,求的取值范围.
分析 给定函数及区间,则存在, ,使得成立成立.因为由原题解答知当时,,,故对于本例而言应有, 又,解得.
变式 2 若存在 ,使得成立,求的取值范围.
分析 存在,使得成立,时,,由此可知可知本变式解答应如下:,解得或,因,故得.
评注 “存在,使得时,成立”与本变式类型不同.
变式3 若对任意,总存在,使得成立,求的取值范围
分析 对任意,总存在,使得成立函数在上的最小值大于函数在上最小值.由此可知本变式解答应如下:,即, 又,故得.
变式 4 若对任意,总存在,使得成立,求的取值范围.
分析 对任意,总存在,使得成立函数在上的最大值小于函数在上最大值.由此可知本变式解答应如下:,即,得,又,故.
变式 5 若对任意 ,都有成立,求的取值范围.
分析 对任意及任意,都有成立函数在上的最大值小于函数在上最小值,故对本何应有,即,解得,又,所以的取值集合为.
变式 6 若对任意,使得成立,求的取值范围.
分析 对任意及任意,都有成立函数在上的最小值大于函数在上最大值,故对本例应有,即,解得,满足,所以.
评注 “当时,恒成立当时,;当 时,恒成立当时,”与本变式类型不同.
变式7 若存在,使得成立,求的取值范围:
分析 存在, ,使得成立
成立,故对本例应有
即解得,所以.
变式 8 对任意的,都成立,求的取值范围.
分析 对任意及任意,都成立
成立,故对本例应有,
即所以的取值集合为.
变式9 对任意,都成立,求的取值范围.
分析 对任意, 都成立成立,故对本例应有 ,即,又,所以的取值集合为.
例4. (2010年湖北卷)已知函数 (>0)的图象在点处的切线方程为.
(Ⅰ)用表示;
(Ⅱ)若在上恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)证明:1+++…+>+)(≥1).
解:(Ⅰ) ,则有,解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
令,.
则,.
(ⅰ)当时,,
若,则,是减函数,所以.
即,故在上不恒成立.
(ⅱ) 当时,,
若,则,是增函数,所以,即,
故当时,.
综上所述,所求的取值范围为.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有, ().
令,有,且当时, .
令,有,
即, .
将上述个不等式依次相加得
,
整理得.
例5.【理·2010安徽卷第17题】设为实数,函数.
(Ⅰ)求的单调区间与极值;
(Ⅱ)求证:当>且>时,>.
第一问很常规,我们直接看第二问.首先要构造一个新函数,如果这一着就想不到,那没辙了.然后求导,结果见下表.
,继续对求导得.
减 极小值 增 由上表可知,而
,由>知,
>,所以>,即在区间上为增函数.
于是有>,而,
故>,即当>且>时,>.
1①
②
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