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第四部分 控制系统的数学描述与建模 引 言 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位。 要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。 同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。 工业生产中的实际系统绝大多数是物理系统，系统中的变量都是一些具体的物理量，如电压、电流、压力、温度、速度、位移等等，这些物理量是随时间连续变化的，称之为连续系统； 若系统中物理量是随时间断续变化的，如计算机控制、数字控制、采样控制等，则称为离散(或采样)系统。 采用计算机仿真来分析和设计控制系统，首要问题是建立合理地描述系统中各物理量变化的动力学方程，并根据仿真需要，抽象为不同表达形式的系统数学模型。 在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有： 传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 主要内容 控制系统分类 线性定常连续系统微分方程模型 传递函数描述 状态空间描述 控制系统模型的转换 控制系统模型的连接 simulink结构图化简控制系统模型 一 系统的分类 按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。 1、线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。 2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。 3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。 二 线性定常连续系统微分方程模型 微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。 对式A数学模型，可以用以下模型参数形式表征： 输出系数向量 A＝[a0，a1，…，an]，n+1维 输入系数向量 B＝[b0，b1，…，bm]，m+1维 有了这样一组模型参数，就可以简便地表达出一个连续系统的微分方程形式。 三 传递函数描述 对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a0不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示： num=[b0,b1,…,bm]， den=[a0,a1,…,an] 当a0＝1时，分子多项式成为 称为系统的首一特征多项式，是控制系统常用的标准表达形式，于是相应的模型参数中，分母系数向量只用n维分量即可表示出，即 A＝[a1，a2，…，an]，n维 例：传递函数描述 1） num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; 2） 借助多项式乘法函数conv来处理： 》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6])); 》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5])))); 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 例 ： 求零极点增益模型 》num=[1,11,30,0]; 》den=[1,9,45,87,50]; [z,p,k]=tf2zp(num,den) 》 分析控制系统过程中，经常要求对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 传递函数表示成为部分分式形式 式中，pi(i＝1，2，…，n)为该系统的n个极点，与零极点形式的n个极点是一致的，rj(j＝1，2，…，n)是对应各极点的留数；h(s)则表示传递函数分子多项式除以分母多项式的余式，若分子多项式阶次与分母多项式相等，h为标量，若分子多项式阶次小于分母多项