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巧用方程解题 1 巧用方程解题 数学的基础结论:①点P(a,b)在函数y=f(x)的图象上f(a)=b;②点P(a,b)在在曲线C:f(x,y)=0上f(a,b)=0;③若不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标满足,则直线AB的方程为:ax+by+c=0. 一.基本问题 例1:(2011年安徽高考试题)(若点(a,b)在y=lgx图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( ) (A)(,b) (B)(10a,1-b) (C)(,b+1) (D)(a2,2b) [解答]: 例2:(1999年第十届希望杯数学竞赛试题)若点M(a,)和N(b,)都在直线l:x+y=1上,则( ) (A)点P(c,)和Q(,b)都在l上 (B)点P(c,)和Q(,b)都不在l上 (C)点P(c,)在l上,点Q(,b)不在l上 (D)点P(c,)不在l上,点Q(,b)在l上 [解答]: 例3:(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知α,β∈R,直线+=1与+ =1的交点在直线y=-x上,则sinα+cosα+sinβ+cosβ= . [解答]: 例4:(2011年全国大纲卷高考试题)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( ) (A)4 (B)4 (C)8 (D)8 [解答]: 例5:(Ⅰ)(1998年第九届希望杯数学邀请赛高二试题)设a,b是方程x2+(cotθ)x–cosθ=0的两个不等实根,那么过点A(a,a2)和B(b,b2)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是( ) (A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)随θ的值而变化 (Ⅱ)(2010年第二十一届希望杯数学邀请赛高二试题)设a,b是方程x2+xtanθ-sinθ=0的两个不等实根,那么过点A(a,a2)和B(b,b2)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是( ) (A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)随θ的值而变化 [解答]: 二.中点弦方程 例6:(2006年北京高考试题)椭圆C:=1(ab0)的两个焦点为F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2| =. 2 巧用方程解题 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程. [解答]: 例7:(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)过直线l:5x-7y-70=0上的点P作椭圆+=1的两条切线PM、PN,切点分别为M、N. (Ⅰ)当点P在直线l上运动时,证明:直线MN恒过定点Q; (Ⅱ)当MN∥l时,定点Q平分线段MN. [解答]: (2010年全国高中数学联赛试题)已知抛物线y2=6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2,且x1+x2=4,线段AB垂直平分线与x轴交于C点,求△ABC面积的最大值. [分析]:设线段AB的中点P(2,t)点P对应的极线ty=3(x+2),因AB平行于该极线直线AB:t(y-t)=3(x-2),且AB垂直平分线:t(x-2)+3(y-t)=0C(5,0),由y2-2ty+2t2-12=0|AB|=2,|PC|= △ABC面积==(9+t2)(令=ss∈[0,2])=(21-s2)s(s=)≤. 三.二次齐次方程 例8:(1991年全国高考试题)己知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆的方程. [解答]: 例9:抛物线C:x2=2py(y0)与过点M(0,b)(b≠0)的直线相交于A、B两点,O