②代数问题的解析方法.doc

Y.P.M数学竞赛讲座 1 〖巧思妙解〗 代数问题的解析方法 寻找代数问题的解析方法是解题学的一个兴奋中心,也是竞赛数学的一个热点问题.基本思路是:通过构造点的坐标,寻找代数式的几何意义(如两点距离、斜率公式、平面区域等),并重点寻找含参数的动点所在的曲线. 1.两点距离 例1]:(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设xk,yk(k=1,2,3)均为非负实数,则+ ++的最小值为 . [解析]:在直角坐标系中,作点A(0,2007),P1(x1+x2+x3,y1),P2(x2+x3,y1+y2),P3(x3,y1+y2+y3).则+ ++=|AP3|+|P3P2|+|P2P1|+|OP1|≥|OA|=2007. [类题]: 1.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a是正数,若f(x)=+(x∈R)的最小值为10,则a= . 2.二元函数f(x,y)=++的最小值为 . 3.①函数f(x)=++的最小值为 . ②(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)设实数x、y满足3x2+4y2=48,则+的最大值为 . 2.斜率公式 [例2]:(2011年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=的值域为 . y [解析]:令P(x,),A(1,0),则点P在双曲线C:y2-x2=1(y≥1)的上支上, P 且f(x)=kAP,如图:①当kAP0时,kAP双曲线C的渐近线的斜率1f(x)=kAP1; O A x ②当kAP0时,令直线AP:y=k(x-1)与双曲线C相切,则方程(k2-1)x2-2k2x+k2-1 =0有等根k=-,此时,kAP≤k=-;综上,函数f(x)的值域为(-∞,-]∪(1,+∞). [类题]: 1.(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知函数f(x)=x,设x=,y=,z=(0cba1).那么, x、y、z的大小顺序为 . 2.①(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设实系数一元二次方程x2+ax+2b-2=0有两个相异实根,其中一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内,则的取值范围是 . ②(2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知实系数一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x1,x2,且0x11 2 Y.P.M数学竞赛讲座 x2,则的取值范围是 . 3.(2011年全国高中数学河北初赛联赛试题)已知f(x,y)=x3+y3+x2y+xy2-3(x2+y2+xy)+3(x+y),且x,y≥,求f(x,y)的最小值. 3.圆形函数 [例3]:(1994年全国高中数学联赛河北初赛试题)设集合M={(x,y)|logx|y|=log|y|x,x,y∈R},N={(x,y)|y=}.则 M∩N中元素个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 [解析]:由logx|y|=log|y|xlogx2|y|=1logx|y|=1.①当logx|y|=1时,|y|=xy2=|2-y2|y=1x=1(舍去);②当logx|y|=-1时,x|y|=1(由N知,y0)xy=1;N:y=x2+y2=2(x0,y0),或x2-y2=2(x0,y0);其中双曲线xy=1与圆x2+y2=2的交点(1,1)舍去;其中双曲线xy=1与双曲线x2-y2=2(x0,y0)的恰有一个交点,选(A). [类题]: 1.(2002年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知集合M={(x,y)|y=},N={(x,y)|y=k(x+1)}.当M∩N≠时,k的取值范围是 . 2.(《中等数学》.2005年第3期.数学奥林匹克高中训练题(74))设函数f(x)=a+,g(x)=x+1.若恒有f(x)≤g(x)成立,则实数a的取值范围是 . 3.(2009年上海高考试题)将函数y=(x∈[0,6])的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)得到曲 线C,若