柯西不等式知识大全1.doc

柯西不等式知识大全 湖南省沅江市第一中学王习波整理编辑 目 录 柯西不等式的来历……………………………………………06 柯西不等式的形象特征………………………………………08 柯西不等式的几何意义………………………………………09 一、一般柯西不等式的空间向量意义………………………………09 二、二维柯西不等式的面积意义……………………………………10 三、二维柯西不等式的三角意义……………………………………11 四、二维柯西不等式的距离意义……………………………………11 柯西不等式的证明和推广……………………………………12 一、柯西不等式的证明…………………………………………12 证法一、 构造二次函数证明…………………………………12 证法二、向量法证明…………………………………………12 证法三、 数学归纳法证明……………………………………12 证法四、 利用恒等式证明……………………………………13 证法五、配方法………………………………………………13 二、柯西不等式的推广……………………………………………15 推广1、极限式柯西不等式……………………………………15 推广2、积分式柯西不等式……………………………………15 推广3 、赫尔德不等式（加权式柯西不等式）…………………16 推广4、 柯西概率分布式不等式……………………………16 推广5、闵可夫斯基（Minkowski）不等式…………………16 柯西不等式的各种变式………………………………………19 变式一、柯西分数式不等式…………………………………………19 变式二、互为倒数的柯西分式不等式…………………………………19 变式三、去分母的柯西分式不等式……………………………………19 变式四、n个1相加的柯西不等式……………………………………19 变式五、柯西指数式不等式…………………………………………20 变式六、柯西三角形式不等式………………………………………20 柯西不等式的运用技巧………………………………………21 一、巧拆常数：……………………………………………………21 二、重新安排某些项的次序：…………………………………………23 三、改变结构：………………………………………………………24 四、添项……………………………………………………………26 五、数形结合………………………………………………………27 柯西不等式的应用范围………………………………………28 一、利用柯西不等式直接证明不等式…………………………………28 二、利用柯西不等式证明恒等式………………………………………30 三、利用柯西不等式解方程（特别是无理方程）………………………32 四、利用柯西不等式解方程组…………………………………………34 五、利用柯西不等式解决三角形问题……………………………………35 六、利用柯西不等式求函数的极值……………………………………43 （一）、求无理函数的极值………………………………………43 （二）、求多元函数的条件极值……………………………………45 （三）、求三角函数的极值………………………………………50 （四）、求函数参数的极值………………………………………53 七、用柯西不等式解释样本线性相关系数………………………………54 八、用柯西不等式解决解析几何问题……………………………………55 （一）、推导平面内点到直线的距离公式……………………………55 （二）、求曲面上的点到平面的距离极值……………………………56 （三）、求直线与曲线有无交点的条件………………………………57 （四）、求曲线的切线方程和切点坐标………………………………59 （五）、求线段长度的极值…………………………………………61 （六）、求曲线内接多边形的面积的极值……………………………63 （七）、求相关参数的取值范围……………………………………67 九、用柯西不等式解决立体几何中的最值问题……………………………68 十、用柯西不等式解决数列不等式问题…………………………………69 十一、用柯西不等式解决向量问题…………………………………72 十二、用柯西不等式解决排列组合问题…………………………………73 十三、用柯西不等式解决微积分不等式问题……………………………75 柯西不等式的各种习题………………………………………76 一、强化训练题之一………………………………………………76 二、强化训练题之二………………………………………………82 三、数学竞赛题欣赏………………………………………………85 四、数学竞赛中的不等式研究………………………………………86 妙手荟萃………………………………………………………95 序