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1．已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若，且恒成立，求实数的取值范围.2．已知函数，，，令.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；3．已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，.4．已知函数.（1）若，求函数的极小值；（2）设，证明：.5．已知函数，其中且，为自然常数.（1）讨论的单调性和极值；（2）当时，求使不等式恒成立的实数的取值范围.6．已知函数，且.（1）求的解析式； （2）证明：函数的图象在直线的图象下方. 7．已知函数.（1）函数在点处的切线与直线平行，求函数的单调区间；（2）设函数的导函数为，对任意的，若恒成立，求的取值范围.8．设函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时，证明：．9．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．10．（本题满分14分）设函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时．证明：．参考答案1．（1）函数极小值为，无极大值；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，，通过二次求导可知函数在上单调递增，且，所以当时，当时，因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的极小值点为，无极大值点；（2）对函数求导可得，分和讨论，显然时，，函数在上单调递增，研究图象可知一定存在某个，使得在区间上函数的图象在函数的图象的下方，即不恒成立，舍去；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，解得.试题解析：（1）函数的定义域是,当时，,易知函数的定义域是上单调递增函数，且,所以令，得；令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以函数极小值为，无极大值.（2），则.①当时，恒成立，所以函数在上单调递增，且数形结合易知，一定存在某个，使得在区间上，函数的图象在函数的图象的下方，即满足的图象即.所以不恒成立，故当时，不符合题意，舍去；②当时，令，得；，得；所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以函数定义域上的最小值为.若恒成立，则需满足，即，即，即.又因为，所以，解得，所以.综上，实数的取值范围是.考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值、最值，考查了分类讨论、数相结合的数学思想，属于难题.本题第一问研究函数的极值，通过二次求导得到导函数的最小值说明的单调性，来判断极值点的情况；第二问是本题解答的难点，把恒成立转化为求函数的最小值，按照的符号进行讨论，来判断的单调性，当时，单调递增，通过找反例排除，当时，求出函数零点，判断其单调性，求出其最小值，建立不等式求解.2．（1）；（2）最小值为．【解析】试题分析：（1）当时,对求导求其单调增区间；（2）先化简为,恒成立问题,转化为求的最大值来求解.试题解析：（1），，，（）.由得又，所以，所以的单增区间为.（2）令.所以当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等于不能恒成立.当时，.令得，所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，.又因为在上是减函数，所以当时，，所以整数的最小值为2.考点：1.导数与单调性；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．【思路点晴】本题第一问是基本的求单调区间问题,只需按求函数单调性的方法来求解就可以.第二问是恒成立问题,我们一般都需要对已知条件进行化简,如本题我们就化简为,化简后右边为零,我们就可以转化为求的最大值来求解. 借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解.3．（1）函数在上为减函数；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）对函数求导,利用函数的单调性与导数的关系,得出函数的单调性；（2）对任意的，等价于对任意的，,再构造函数,求导,利用导数,求出的最大值小于零.试题解析：解：（1）当时，，，，∵当时，，∴.∴在上为减函数. （2）设，，，令，，则，当时，，有，∴在上是减函数，即在上是减函数， 又∵，，∴存在唯一的，使得，∴当时，，在区间单调递增；当时，，在区间单调递减，因此在区间上， ∵，∴，将其代入上式得， 令，，则，即有，，∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，∴，即任意，，∴，因此任意，.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.导数的综合应用.【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性,导数的综合应用等知识点,是压轴题.在（2）中,注意等价转换,对任意的，等价于对任意的，,再构造函数,利用单调性,求出函数的最大值, 即,把看成一个整体,就转化为二次函数最大值.本题多