5.3矩算符.ppt

作业 * * §3矩算符，球面函数 一、矩算符及其性质 其中： 只对球面函数起作用 性质 （1）在球面函数空间中，L2是一厄米算符 （2）矩算符的本征值问题及其解： ② ②为矩算符的本征值问题(偏微分方程的…） 本征值：?＝？本征函数：Y＝？ 设u (r,?,?)=R (r) Y( ?,?)代入 及有关边条件 分离变量： 代入②得： ③ 和 ④ 解③ ④得： 通常记作： 由欧拉公式： 量子力学中经常用到的球谐函数的另一种形式为： 矩算符本征值问题解的三种形式 ① ② ③ （3）本征值的简并 当?l=l(l+1)取定后： 共有2l+1个不 同的本征函数 1个 2l个 ∴L2的本征值是2l+1度简并的 2l+1个 二、球面谐函数及其性质 与 均为正交完备系 且 证明： 注：若用归一的 展开 说明： 当l ≠ k时， 对应不同本征值的 本征函数彼此正交 当l=k时， 对于相同本征值 互为简并的本征 函数彼此正交 不同次(l ≠ k)的球谐函数彼此正交 不同阶(m ≠n)的球谐函数彼此正交 对于球面函数空间中的任一平方可积函数f(θ,φ) 均可用 展为广义付氏级数 完备性 [例1]按球函数 将下列函数展开 ① ② 解: ①分析展开形式取 的形式 ② sin m?, cosm?均为倍角形式 ∴将cos2?变形 其中： 而： 【例2】半径为a的均匀导体球，表面温度 求稳定时，球内外温度分布 解：定解问题（球内） ① 设u (r,?,?)=R (r) Y( ?,?)代入①中方程及有关边条件， 和： ③ 解②得： ② 得： 解③得： 通解： (1)定解