坐标变换的应力分量和应力张量.DOC

第二章 应力状态分析 一. 内容介绍 ??? 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。 ??? 应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入，或者查阅。 ??? 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。 二. 重点 ??? 1.应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量； ??? 2.平衡微分方程与切应力互等定理； ??? 3.面力边界条件； ??? 4.应力分量的转轴公式；??? 5.应力状态特征方程和应力不变量； 学习思路:?? ??? 在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，以维持弹性体表面的平衡。 ??? 面力边界条件的推导时，参考了应力矢量与应力分量关系表达式。只要注意到物体边界任意一点的微分四面体单元表面作用应力分量和面力之间的关系就可以得到。 ??? 面力边界条件描述弹性体表面的平衡，而平衡微分方程描述物体内部的平衡。当然，对于弹性体，这仅是静力学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。 ??? 面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。 学习要点： ??? 1. 。 物体在外力作用下处于平衡状态，不仅整体，而且任意部分都是平衡的。在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量须与表面力满足面力边界条件，以满足弹性体表面的平衡。 ??? 考虑物体表面任一微分四面体的平衡，如图所示。?? ??? 由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用， 设单位面积上的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz ，物体外表面法线n的方向余弦为l，m，n。参考，可得???? ? 用张量符号可以表示为 ??? ??? 上述公式是弹性体表面微分单元体保持平衡的必要条件，公式左边表示物体表面的外力，右边是弹性体内部趋近于边界的应力分量。公式给出了应力分量与面力之间的关系，称为静力边界条件或面力边界条件。 ????平衡微分方程和面力边界条件都是平衡条件的表达形式，前者表示物体内部的平衡，后者表示物体边界部分的平衡。 ??? 显然，若已知应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件，则物体平衡；反之，如物体平衡，则应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。 学习思路:?? ??? 一点的应力不仅随着点的位置改变而变化，而且由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。因此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。应力分量能够描述一点的应力状态，因此确定不同截面应力分量的变化规律，就可以确定应力状态。 ??? 本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。为了简化分析，首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向相同，建立斜截面应力矢量表达式。然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系，将应力矢量投影于各个坐标轴得到应力分量表达式。 ??? 应力分量的转轴公式说明：应力分量满足张量变换条件。 ??? 根据切应力互等定理，应力张量是二阶对称张量。 ??? 转轴公式说明了一点的应力状态，尽管截面方位的变化导致应力分量改变，但是一点的应力状态是不变的。 学习要点： ??? 1. ；??? 2. ;??? 3. 应力分量的投影; ??? 4. 应力分量转轴公式;??? 5. 平面问题的转轴公式。 一点的应力不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变而变化，而且即使同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不相同。一点的应力随着截面的法线方向的改变而变化称为应力状态。 ??? 应力状态分析就是讨论一点不同截面的应力变化规律。由于应力分量可以描述应力状态，因此讨论坐标系改变时，一点的各个应力分量的变化就可以确定应力状态。 ??? 当坐标系改变时，同一点的各个应力分量将作如何的改变。 ??? 容易证明，坐标系仅作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的，因此只须考虑坐标系旋转的情况。 ??? 假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应力分量为 ??? 如果让坐标系转过一个角度，得到一个新的坐标系Oxyz。设新坐标系与原坐标系之间有如下关系: 其中，li，mi，ni表示新坐标轴Oxyz与原坐标轴Oxyz之间的夹角方向余弦。 如果用 表示同一点在新坐标系下的。 ??