修改第一节定积分的概念及性质.ppt

在 内插入 个分点: 将 分成 份, 不妨设 注 :此性质称为积分在区间上的可加性. 当 时: 故 同理可证 时结论仍成立. 注: 定积分的几何意义 (1) 时 (2) 时 符号不定时 (3) 性质4 (保号性) 如果在区间 上恒有 则 证 故 推论 在区间 上可积,且 如果 则 证 因 则 故 例2 不计算定积分,比较下列积分大小 与 与 解 (1)因 故 (2)因 故 例3 设 在 上连续,且 如果 求证: 证 因 \ 且 则至少存在一点 使 又因 连续 则在 内 在 故命题成立. 2009考研 在区间 上图形为： 则 如果 的图形为： * 第六章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 定积分的计算 第三节 定积分的应用 第四节 广义积分初步 补充 第一节 定积分的概念与性质 一.定积分的概念 1.求曲边梯形的面积 曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）. 曲边梯形 求由连续曲线 与直线 及 轴所围曲 边梯形的面积. a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与x轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值. 求曲边梯形的面积 首先，我们重复阿基米德的做法： 分割—代替—求和 得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值. 第一步：分划 任意引入分点 第二步：代替 对每个小曲边梯形均作上述的代替 第三步：求和 第四步：取极限 例1 求由 与 轴所围成 的图形的面积. 及 在 中任意插入 个分点: 任取 作和 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 2.求做变速直线运动的物体走过的路程 (1)分割 (2)代替 (3)求和 (4)取极限 已知 求 3.定义 设 是定义在 上的有界函数, 在 中任意插入 个分点: 将 分成 个区间 区间长 记 任取 作和 令 如果极限 存在, 且与 的分法及 的取法无关. 为函数 上的定积分. 记作: 则称 在区间 上可积, 并称该极限值 在区间 注： (1)定积分与积分变量符号无关. (2)可积条件: (无界不可积) （3）交换积分上、下限，定积分改变符号。 二.定积分的性质 性质1 证 前提:在所讨论区间上可积 补充 性质2 证 推论: 性质3 时: *