《数学分析》课程教案-完整版.pdf

第 1 章 实数与数列极限 数学基本上由分析学、代数学和几何学所组成,它们的研究对象 和内容是不同的,但又相互依赖和渗透.代数学和几何学的发展历史 很长,发源于几千年前；分析学的发展历史并不长,发源于“微积分学” 的创立(17 世纪),但发展之迅速、适用范围之广泛、威力之强大足以 令世人震惊,已渗透到一切学科门类,可以说是数学的主要组成部分. “微积分学”的思想古已有之.使之成为一门学科,则归功于 Newton 和 Leibniz 在 17 世纪的杰出工作.“微积分学”创立之初,其理论无 法自圆其说.经过无数数学家长达近 200 年的努力,才用严格的极限 理论将其说清楚.而极限理论则依赖于实数理论的建立. 数学分析这门课程就是讲述“微积分学”的理论及其应用. 数学： 分析学、代数学、几何学    微积分学(Newton,Leibniz等，世纪)17  严格的极限理论(Cauchy,Weierstrass等，世纪)19  实数理论 3 §1.1 数轴和§1.2 无尽小数 n.a a a  n.a a a  n 实数 称 10 进制的小数 1 2 3 或 1 2 3 为实数,其中 是非负 整数, a (i 1,2,3,) 是满足0 a 9 的整数.两个实数能进行四则运 i i 算，并能比较大小. 有理数和无理数 称分数或无尽循环小数(有尽小数也可视为无尽循 环小数)为有理数；称无尽不循环小数为无理数；注意有尽小数有两 种表示法.  符号 用 , , , , 分别表示正整数,自然数(非负整数),整数,有 理数和实数的全体. 显然,有理数间的和、差、积、商仍然是有理数；实数间的和、 差、积、商仍然是实数.这样的性质通常称为和各自组成一个数域. 易知整数的全体与数轴上的全体整数点一一对应；有理数的全 体与数轴上的全体有理点一一对应. 容易证明：数轴上的每个点，通过测量与原点的距离，都唯一地 对应一个实数.反过来,我们要问:每个实数是否能被数轴上的某个点 所对应? Dedekind 公理 实数的全体 (按测量与原点距离的方式)与数轴上 点的全体一一对应(也有人将其称为数轴的完备性或连续性). 区间 对于实数a b ,记 (a, b) {x : a x b} ,称为开区间； [a, b] {x : a x b},称为闭区间； (a, b] {x : a x b} ,称为左开右闭的区间； 4 [a, b) {x : a x b} ,称为左闭右开的区间； (, a] {x : x a} ； (a, ) {x : x a} ； (, ) 等等. 上述这些实数集合都可称之为区间；称区间中异于端点的点为 其内点. x , x 0 ; x x 绝对值 对于实数 ,记 x  称 x 为实数