数学专业 euclid空间上的线性泛函的内积刻画及推广（汪朋）.doc

Euclid空间上的线性泛函的内积刻画及推广 汪 朋 （孝感学院数学系021114230 湖北孝感 432100） 摘 要：本文在一般意义上讨论了Euclid空间上的线性泛函，寻找到了它能用内积来刻画的充要条件，并将结论进一步推广到双线性函数的情形，最后说明了本文的主要结论与F.Riesz定理关系. 本文得到的主要结论是：是Euclid空间上的线性泛函，则下列条件是等价的： 1）存在唯一的,使得,有； 2）或； 3）. 关键词：Euclid空间；内积；线性泛函；双线性函数；零空间 The depiction and further generalizition of linear function in Eucclid Space Wang Peng (Department of Mathematics,Xiaogan University 021114230) Abstract: In this paper ,we generally discuss linear function in Euclid space,found out the necessary and sufficient conditions that can be depicted by inner-product.Further gerneralize those results to dobuble linear function.At last,we illustrate the relation between the results of the paper and theory of F.Riesz. The main result of this paper is :is linear function in Euclid space,then the conditions on the following are equal. there exists only ,let, we have or ； . Keywords: Euclid space; Inner-product; Linear function; Dobuble linear function;Zero-space 目 录 0 引言 …………………………………………………………………………… 3-4 1 预备知识及引理 ……………………………………………………………… 4-5 2 主要结果……………………………………………………………………… 5-13 2.1 Euclid空间上线性泛函的内积刻画 …………………………………… 5-9 2.2 Euclid空间上不能用内积刻画的线性泛函的存在性 ……………… 9-10 2.3 双线性函数的内积刻画 ………………………………………………10-13 参考文献 ………………………………………………………………………… 13 致谢………………………………………………………………………………… 13 0 引言 Cauchy曾用函数方程给出了实数域上的线性函数的公理化定义，该定义基于以下命题得到： 命题1 设是实数域到的一个连续函数，若对，有 ，则，这里为常数. 美国数学家K.Gabriel在他的著作中取消了命题“是连续函数”这一假设，并利用连续函数的延拓原理进行了新的证明. 把线性函数这一概念拓广到一般的线性空间上，就是如下： 定义1 设是数域上的一个线性空间，映射称为上的线性函数，如果满足 1）； 2）， 式中是中任意元素，是中任意数. 在上述定义中当为实数域或复数域时，我们也把称为上的线性泛函. 在三维几何空间中，当为常向量，而为变向量时，数量积（内积）可视为函数，容易验证是一个线性泛函.推广到一般的内积空间，记是中任意向量，是中一固定向量，易证是上的一个线性泛函. F.Riesz考虑了以上问题在一般意义上的逆命题，对Hilbert空间上的连续线性泛函进行了一般性的刻画： F.Riesz定理 设是Hilbert空间上的一个连续线性泛函，则必存在唯一的，使得，有. 本文将在一般意义上考虑内积空间上的线性泛函，研究在怎样的情形下，内积空间上的线性泛函才能用内积来刻画，这种刻画是否唯一，并将结论进一步推广到双线性函数的情形. 在本文中用表示内积，表示实数域，表示正整数集，表示的维数，表示范数，表示正交，表示直和，表示生成子空间. 1 预备知识及引理 定义2 是数域上的线性空间，是上的线性函数，称 为在上的零空间，简称的零空间. 容易验证，是的子空间. 定义3 和是数域上的两个线性空间，是的映射，如果满足 1)； 2)， 其中是中任意向量，是中任意向量，是中任意数，则称是一个双线性函数.