数学专业 一类线性变换多项式的维数特征（孙甜）.doc

一类线性变换多项式的维数特征 孙甜 （孝感学院数学系021114228，湖北　孝感　432100） 摘要：本文给出了一类线性变换多项式的维数特征定理，将该定理应用于矩阵多项式的秩问题，获得或推广了现行文献中许多结果。 本文的主要结果是： 定理1　设，，是数域上维线性空间的一个线性变换，则的充分必要条件是. 定理2　设，，两两互素，是数域上维线性空间的一个线性变换.则 . 关键词：矩阵的秩；矩阵多项式；线性变换 A kind of linear substitution multinomial dimension characteristic Sun Tian ( Department of Mathematics, Xiaogan University 021114228 ) Abstract: This article has produced a kind of linear substitution multinomial dimension characteristic theorem, applies this theorem in the matrix multinomial order question, obtained or has promoted in the present literature many results The main results of this paper are: Theroem1 soppose ，，is on number field P a n Uygur linear space V linear substitution,then the full essential condition of Theroem2 Let ,If are coprime. is on number field P a n Uygur linear space V linear substitution.Then . Key words: rank of matrix; matrix polynomial;linear transformation １　引言与主要结果 在近几年的一些重点院校数学专业研究生入学考试中，经常出现下列一类试题： 1．设是数域上维线性空间上的一个线性变换，用表示上的恒等变换，证明.　　（北京大学2005） 2．设是阶矩阵，是阶单位阵，证明：的充分必要条件是其中表示矩阵的秩.　　（重庆大学2001） 3.设是阶矩阵，，证明 为幂等矩阵当且仅当. （华中科技大学2004） 4．设是阶矩阵，证明：的充分必要条件是 . （四川大学2000） 以上命题中必要性的证明相对容易一些，充分性的证明在目前国内流行的两种版本（北大版与北师大版）的高等代数教材中没有涉及到，考生往往感到无从下手。对于这类问题的讨论，在高等代数教科书上，也只是在习题中出现过以下结论： 结论1　设阶矩阵满足，则. 结论2　设阶矩阵满足，则. 实际上结论1、结论2的逆命题也成立，它们刻画了幂等矩阵与对合阵的秩特征，但对其逆命题及证明问题，一般很少有资料或文献所涉及. 本文将对以上结果进行推广，得到一个更一般的定理，并将该结论应用于线性变换或矩阵多项式，较简单的获得现行文献[1～8]中许多结果. 本文的主要结果是： 定理1　设，，是数域上维线性空间的一个线性变换，则的充分必要条件是. 定理2 设，，是数域上维线性空间上一个线性变换，则 . 定理3 设两两互素，是数域上维线性空间的一个线性变换，则 . 定理4　设，，两两互素，是数域上维线性空间的一个线性变换.则 . 本文中用表示单位矩阵，表示线性空间的恒等变换，表示线性变换的核，表示线性变换的象，表示. ２，，是数域上维线性空间的一个线性变换，则. 证明　因为，所以存在，使得 ， 则，这里是线性空间的恒等变换. 设，下证： 设，则，由上式得 . 记，，则. 由，得，同理得到 ，故，即得 又易知，，故，于是 . 再证：，则 ， 那么，即，所以 . 定理１的证明 由引理1得到： . 于是 . 　　(必要性)　若，则 注意到: 与 即得 . (充分性)　若，则，于是 . 　　在文献[7］中，对矩阵秩的一个重要不等式，给出了它取等号的一个充分必要条件，即下面的引理2，借助该引理，我们可以把定理 1推广成一个更一般的结果（前文的定理2）： 引理2[7]　设、分别为和矩阵，则的充分必要条件为存在矩阵、，使得 . 定理2的证明 设为的一组基，在该基下的矩阵为，则、在该基下的矩阵分别为、，而且 、及 因为，所以存在，使得 ， 则，由引理2，得 于是 . 推论1 设，，，则 . 推论2 设两两互素，，则 . 定理3的