数学专业 一类连续正交投影算子的表示定理.doc

一类连续正交投影算子的表示定理 韩记平(051114308) (孝感学院数学与统计学院， 湖北 孝感 432000) 摘要: 本文首先给出单一正交投影算子使用矩阵或线性变换的表示方法，然后在此基础上给出一类连续正交投影算子的表示定理. 关键词: 投影算子；投影矩阵；正交投影算子；正交投影矩阵；幂等矩阵 The representation theorem of a class of continuous orthogonal projection operator Han Jiping(051114308) （Xiaogan College School of Mathematics and Statistics，Hubei iaogan 432000）Abstract: The paper first gives a single operator using the orthogonal projection matrix or linear transformation method，and then on this basis is given for a class of continuous orthogonal projection operator of the representation theorem.． Keywords: Projection operator; Projection matrix; Orthogonal projection operator; Orthogonal projection matrix; Idempotent matrix 0 引言 投影算子及投影矩阵有着广泛的应用，如在实际问题中出现的求最小平方偏差，一些规划问题中的理论也涉及到投影方法.因此对投影算子尤其是正交投影算子的描述和刻画显得由为重要，对它的研究具有理论上的意义. 考虑实数域上的一个维线性空间，.有分解式，其中则称叫做沿到的投影.如果用表示由到上的映射，则称为在上的投影变换或投影算子.若是内积空间，且，则称为在上的正交投影变换或正交投影算子. 对于的一组标准正交基，这里我们设 ，，…， 取的一组标准正交基，的一组标准正交基.令 ， 我们设为基到基的过渡矩阵，则有.在基 下的矩阵为，于是在标准正交基下的矩阵为 另一方面，由于为正交矩阵，故有，于是又有 .由此本文首先给出单一正交投影子的表示方法,如用矩阵或线性变换表示.然后探讨和分析了一类特殊的由有限个正交投影算子(连续正交投影算子)的表示方法. 1　基本概念 定义 1[1] 矩阵称为正交投影矩阵，如果它是对称幂等阵，即满足 ，. 定义 2 设是维欧氏空间，为中某一单位向量，定义线性变换，我们称为在子空间上的正交投影算子. 定义 3 是维欧氏空间，其子空间有上的正交投影变换，称为连续正交投影算子或连续正交投影变换. 定义 4[2] 设是一个数域， ，若有矩阵使，则称为的一个逆，记为. 2 定理及证明 定理 1 是维欧氏空间，为的任意一组标准正交基. （1）若为正交投影矩阵，则存在唯一线性变换在上述基下对应的矩阵为，且 ()() 是在上的正交投影变换； （2）若，是在上的正交投影变换，它在上述基下矩阵为，则为正交投影矩阵. 证明 （1）对于给定实矩阵，存在唯一线性变换在上述基下对应的矩阵为. ，令，是幂等的知，于是 ， 且由，故有，是在上的投影变换. 于是有， 即，故.故. 下证是正交投影变换，即证.记对应线性变换记为，易知为幂等的，由上述证明知为在. 由是对称的有，于是有.由已知我们有 ， 设，则有 对，， 于是. ，因此有. ，则有 知.故有 ． 于是 . 故是正交投影变换. （2）若，是在上的正交投影变换，则有 在中取一组基， .则，构成，于是有 　　存在有 = = 即有. ，则有 ， 记对应的矩阵为，则为在上的投影变换，=，，同理=，也是到的正交投影变换，故，即= . 是正交投影矩阵. 定理2 是维欧氏空间， ，是在上的正交投影变换.设 的一组标准正交基，为的一组标准正交基，并且令，．设在子空间上正交投影变换为，即， ，则 (1) ，; (2) ，则． 证明 (1)由的一组标准正交基，为的一组标准正交基，知为正交矩阵.于是 ， 其中 于是，有 故，其中为单位变换. (2) 由(1)的证明可知 又 于是