数学专业 亚正定变换研究（张兰）.doc

亚正定变换研究 张兰 （孝感学院 数学系031114226，湖北 孝感 432100） 摘要： 本文在欧氏空间中定义了亚正定变换，并给出了线性变换是亚正定变换的充分必要条件是它在标准正交基下的矩阵是亚正定矩阵.在此基础上进一步引入正定变换、共轭变换、正规变换等概念，进而探讨及证明了它们得出的相关结论. 关键词：亚正定变换；正规变换；共轭变换；亚正定矩阵 Study on the subpositive definiteness transformation ZHANG Lan (Department of mathematics,Xiaogan Universty, Xiaogan,Hubei 432100,China) Abstract：This article defined subpositive definiteness transformation on Euclidean Space,and had given sufficient and necessary conditions of a linear transformation is a subpositive definiteness transformation is that the matrix under the orthonormal basis is subpositive definiteness. And further to introduction the concept of positive definiteness transformation,conjugate transformation, regular transformation.and futher to discuss and prove the related conclusion. Key words ：subpositive definiteness transformation; regular transformation ; conjugate transformation; subpositive definiteness of matrix 0 引言 实对称矩阵和实对称正定矩阵（简称为正定矩阵）在矩阵理论与应用中起着重要作用.1970年, C.R.Johnson提出了更为广泛的一类矩阵，即亚正定矩阵概念[1]： 定义1 设，，有，则称为亚正定矩阵. 复旦大学屠伯埙教授在此基础上建立了亚正定矩阵的基本理论，对亚正定矩阵的性质作了较为系统的研究，得到了很多新的结果，并把许多有关正定矩阵的结果推广到亚正定矩阵[2，3].由于亚正定矩阵应用的广泛性，对它的研究一直是计算数学与矩阵论研究的热点之一，文献[3-10]对亚正定矩阵的性质、判断条件、应用等方面进行了进一步的探讨，所用方法基本上都是纯矩阵方法. 我们知道，欧氏空间中通过对正交变换、对称变换的讨论，使我们对正交阵、对称阵的研究更为深刻。现在提出问题：能否在欧氏空间中定义一种线性变换，使它与亚正定矩阵相对应，借助对这种特殊线性变换的研究，重新获得亚正定矩阵的有关结果，更重要的是，能深入的理解亚正定矩阵的几何意义，推广一些现有结果. 本文将在这些方面作些尝试。我们首先定义与亚正定阵相对应的亚正定变换，进一步引入正定变换等概念，借助共轭变换，引入正规变换，并探讨它们的相关联系，获得一些有益结果。在本文中，我们用、等表示线性变换，用表示向量与的内积. 1 亚正定变换 首先，我们在欧氏空间中提出亚正定变换概念 定义2 设为维欧氏空间的一个线性变换，若对，，有，则称是的一个亚正定变换. 下面结果表明，欧氏空间中亚正定变换与文献[1-3]中亚正定矩阵相对应. 定理1 设是维欧氏空间的一个线性变换，则是亚正定变换的充分必要条件是在的任一标准正交基下的矩阵是亚正定矩阵. 证明 令是维欧氏空间的一个线性变换，为任一标准正交基，设在标准正交基下的矩阵为，即 对，，令，采用向量的形式记号，则 ，这里 则，而，故 （1） （必要性）若是亚正定变换，则，由（1）式得，由及任意性，得知是任意的维非零列向量，于是为亚正定矩阵. （充分性）反之，若为亚正定矩阵，则，由（1）式得，于是是亚正定变换. 下面我们讨论亚正定变换的一些性质. 定理2 设是维欧氏空间的一个亚正定变换，则也是亚正定变换. 证明 先证是可逆变换.反证法:若是不可逆的，则存在，使，即 此与为亚正定矩阵变换矛盾， 故是可逆变换. 从而是满射的，因此必有,使,则 故是亚正定变换. 定理3 设是维欧氏空间的亚正定变换，则也是亚正定变换. 证明 由于是亚正定变换，则对，有 ，且 即对