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高中数学求解最值问题的一些方法 摘要：最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，是各类考试中的热点问题，并在实践生产中也有广泛的应用。作为反映实践数量关系、几何图形性质的数学中，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各知识点，各个知识水平层面，以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。本文给出了求解最值的几种方法,如均值不等式、三角函数、函数的单调性、数形结合法等，且分析了某些方法的优缺点.同时，给出了每种方法的特点. 关键词：最值; 均值不等式; 三角函数; 函数的单调性；数形结合. 引言 最值问题是一类特殊的数学问题，在生产实践及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置，是历年高考重点考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，并以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。本课题对求数学中最值问题的方法作一个综述，以便于广大师生系统掌握求函数最值的初等求解方法。相信本课题不仅在理论上丰富和发展了函数最值问题及相应学科的理论、方法和技巧，而且对社会的发展也将产生一定的积极影响。 一、利用均值不等式求解最值问题 几个重要的均值不等式： ①当且仅当时，“=”号成立； ②当且仅当时，“=”号成立； ③当且仅当时,“=”号成立； ④ ,当且仅当时,“=”号成立. 注① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： 例1已知两正数，且，求的最小值. 解：因为且，所以 即. 例2 求函数的最小值. 　　分析：是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而可与相约，即其积为定积1，因此可以先添6、减6，即，再用均值不等式. 解： 　　当且仅当，即时,等号成立. 所以的最小值是. 小结 均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点. 一、用均值不等式求最值的常见问题 1、求几个正数和的最小值； 2、求几个正数积的最大值； 3、用均值不等式求最值等号不成立； 4、条件最值问题； 5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题. 二、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项（配常数项） 　　2、 配系数（乘、除项） 　　3、 裂项 　　4、 取倒数　　 　　5、 平方 　　6、 换元（整体思想） 7、 逆用条件 8、 巧组合 9、 消元 二、利用三角函数法求解最值问题 分析 在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性. 例3. 已知实数、满足，求的最大值与最小值. 解：由配方得： 设，， 则 由，得， 故的最大值为，最小值为. 小结 在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性。利用正弦函数和余弦函数的有界性是求解三角函数最值问题的最基本的方法。用三角函数求最值的常见的技巧： 1、用三角函数的有界性求最值。 2、将三角函数最值化为二次函数的最值。 3、数形结合. 三、利用函数的单调性求解最值问题 函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年高考必考内容。利用函数的单调性求最值问题先判明函数给定区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值. 求函数的最小值 解： 设，则 函数在区间上是增函数，故，即时，取得最小值，所以. 评析：对勾函数求最值与均值不等式定理求最值应互为补充，此题不能利用均值定理求最小值，因为取等号时的条件是，即（无解）. 例5 函数是定义在上的奇函数，且满足2个条件： (1)、对于任意的，都有； (2)、当时，且，求函数在上的最大值和最小值. 解： 设，则， 由条件(2)得， 又由条件(1)可知， 所以函数在上是减函数. 故， . 评析： 由条件(1)可知函数的背景函数是.因此要求函数在上的最大值和最小值，只要运用条件(1) (2)先确定在上的单调性，对此只需作配凑即可. 小结 用函数单调性求最值的常见问题： (1)、利用函数单调性求对勾函数[形如（其中）型]的最值. 注：对勾函数的极值规律： ①当时，函数在处取得极小值，在处取得极大值； ②当时，函数在处取得极小值，在处取得极大值； ③