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动态规划习题总结 【0-1背包】 {题目} 一个旅行者有一个最多能用M体积的背包，现在有N件物品，它们的体积分别是W1，W2，……,Wn,它们的价值分别为P1,P2，……,Pn.若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。 {思路} f[i,v]表示前i件物品恰放入一个容量为 v的背包可以获得的最大价值 动态转移方程：f[i,v]=max{f[i-1,v],f[i-1,v-w [i]]+p[i]} 边界条件：i=0 或 v=0 时 f:=0 ｛样例｝ 输入：100 5 77 92 22 22 29 87 50 46 99 90 输出：133 【最长不降字串】【导弹拦截】 {题目} 设有整数序列b1,b2,b3,…,bm，若存在下标i1i2i3 …in，且bi1bi2bi3 …bin，则称 b1,b2,b3,…,bm中有长度为n的不下降序列bi1 , bi2 ,bi3 ,…,bin 。 求序列b1,b2,b3,…,bm中所有长度(n)最大不下降子序列 {思路} f(i)为前i个数中的最大不下降序列长度 动态转移方程：f(i)=max{f(j)+1} (1=ji=m，bjbi) 边界条件：F(1)=1 {样例} 输入：389 207 155 300 299 170 158 65 输出：6 【机器分配】 {题目} 总公司拥有高效生产设备M台，准备分给下属的N个公司。各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这M台设备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中M=15，N=10。分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不得超过总设备数M。 数据文件第一行保存两个数，第一个数是设备台数M，第二个数是分公司数N。接下来是一个M*N的矩阵，表明了第I个公司分配J台机器的盈利。 {思路} f[i,j] 表示前i个公司，分j台设备的最大盈利 动归方程：f(i,j)=max{f(i-1,j-k)+v[i,k]} k=0,1,…,j 边界条件：k=0 or i=0 则 f:=0 {样例} 输入：3 3 30 40 50 20 30 50 20 25 30 输出：70 【数字金字塔】 {题目} 数字塔一共有n层，第i层有i个数字，从最上面一个数字开始走，每向下一层时可以向左或向右走，最后的得分为所经过的数字和。请求出最大得分。 {思路} f[i,j]表示在第i行第j个位置的最大得分 动态转移方程：f[i,j]:=f[i-1,j-1]+num[i,j] {i=j} f[i,j]:=max(f[i-1,j],f[i-1,j-1])+num[i,j]; {ij} 边界条件：i=1 f[i,j]:=num[i,j] {样例} 输入：5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 输出：30 【最短路径】 {题目} 求两点间的最短路径长度 {思路} f(x)表示点x到y的最短路径长度 动态转移方程：f(x)=min{f(i)+a[x,i]} a[x,i]0 ,xi=n 边界条件：f(y)=0 【凸多边形三角划分】 {题目} 给定一个具有N（N50）个顶点（从1到N编号）的凸多边形，每个顶点的权均已知。问如何把这个凸多边形划分成N-2个互不相交的三角形，使得这些三角形顶点的权的乘积之和最小？ {思路} F[I,J]（IJ）表示从顶点I到顶点J的凸多边形三角剖分后所得到的最小乘积 动态转移方程： F[I,J]=Min{F[I,K]+F[K,J]+S[I]*S[J]*S[K]} (0IKJ=N) 边界条件：F[1，2]=0 目标状态：F[1,N] {样例} 输入：5 121 122 123 245 231 输出：The minimum is The formation of 3 triangle:3 4 5, 1 5 3, 1 2 3 【系统可靠性】 {题目} 一个系统由若干部件串联而成，只要有一个部件故障，系统就不能正常运行，为提高系统的可靠性，每一部件都装有备用件，一旦原部件故障，备用件就自动进入系统。显然备用件越多，系统可靠性越高，但费用也越大，那么在一定总费用限制下，系统的最高可靠性等于多少？ 给定一些系统备用件的单价Ck，以及当用Mk个此备用件时部件的正常工作概率Pk（Mk），总费用上限C。求系统可能的最高可靠性。 {思路} F[I,money]表示将money的资金用到前I项备用件中去的最大可靠性 动态转移方程：F[I,money]=max{F[I-1,money–k*Cost[I]]*P[I,k](0=I=n,0=K=money div Cost(I)) 边界条件：F[0,0]=0 目标状态：F[n,C] {样例} 输入：2 20