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数学及其对文明和科学的影响 解建国 2009.10.30 一、关于数学 定义：研究客观物质世界的数量关系和空间形式规律的科学 研究对象：以数和形为着手点 应用范围：探索广漠的宇宙，研究细微的粒子，考察地球的变化，揭示生命的奥秘，设计高楼大厦、生产用品，进行生产管理、物资调度、农业生产、市场供应等 一、关于数学 数学由两大部分构成 一、关于数学 对于数学的不同的认识：毕达哥拉斯 “凡物皆数”、康托尔“数学存在于神的理智中”、希尔伯特认为数学是研究一些符号（可从逻辑概念导出，他是数学的三大流派中形式主义流派的代表）、恩格斯则认为数和形的概念是从现实世界和生产活动中得到的 流派和学派的区别 高斯（数学王子）对数学的认识 一、关于数学 数学发展史的分期 萌芽时期：从数学产生到公元前5世纪 主要成就：以埃及为主的几何学（测地术）为《几何原本》提供素材 古巴比伦使用了一元一次方程 中国的结绳计数，为进制开端；规和矩为最早的仪器 一、关于数学 初等数学时期（公元前5世纪～1600年） 古典希腊时期 以泰勒斯、毕达哥拉斯为代表，建立数学体系及研究的方法（公元前5世纪～公元前4世纪）。特别地，发现无理数，引起“第一次数学危机” 一、关于数学 亚历山大里亚时期 以欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯为代表，《几何原本》诞生，数学研究及应用开展（前4世纪～前146年） 古希腊罗马化时期 以埃拉托色尼、海伦、丢番图为代表，创立三角学、复兴代数（前146年 —公元300年） 一、关于数学 东方数学发展时期（300年～1200年） 印度数学：一元一次方程、不定方程、十进制、无理数、求面积 阿拉伯数学：继承古希腊数学体系并将十进制等传入欧洲（以花拉子模为代表） 特点及成就：形成十进制，初等代数建立、三角学建立、代数与几何独立、留传下古典数学三大难题 启明星：斐波那契（1175年—1250年，十进制由他传入欧洲，著《计算之术》） 一、关于数学 文艺复兴时期（1300年 ～ 1600年 ） 主要成就：以三、四次方程求根式为标志；虚数引入（邦别利）、韦达推进了代数学发展、笛卡儿引进待定系数原理（求多项式的系数，可分解因式）、帕斯卡得到排列组合公式、牛顿得到二项式定理、纳白尔和布里格斯发明了对数、费尔玛提出了大定理等 一、关于数学 变量数学时期（ 1600年～1900年） 变量的引入是数学发展史上的一个转折点，超越初等数学的研究范围 最伟大的成就：建立了平面坐标系、发明了微积分、各个分支诞生、解决了两次数学危机 一、关于数学 数学分析的发展 十七世纪是天才时期，十八世纪是发明时期，十九世纪是完善时期，（第二次数学危机由柯西和维尔斯特拉斯解决，第三次数学危机由策梅洛、冯诺伊曼及皮亚诺等人的公理化系统共同解决，并促进数学发展） 形成分支：级数理论、微分几何、变分法、偏微分方程、复变函数、数学的证明方法由几何法转变为代数法和分析法 代表人物：伯努利家族、欧拉、拉格朗日、柯西、庞加莱、希尔伯特等 一、关于数学 几何学的发展 十九世纪是几何学的复兴时期：画法几何、射影几何、非欧几何（罗巴切夫斯基、黎曼）、高斯创立高斯平面 代数学的发展 高斯证明代数基本定理、阿贝尔证明不能用根式解五次方程、伽罗华创立群论、雅可比建立行列式理论和矩阵理论、布尔创立布尔代数 一、关于数学 现代数学时期 从十九世纪末开始，近世代数以伽罗华创立群论开始 变量数学研究变化着量的性质及它们之间的依赖关系，现代数学除此之外，还研究各种量的可能关系和形式 一、关于数学 产生新的数学门类：测度和积分、点集拓扑学、抽象代数、不动点定理、排队论、统计力学、对策论、范畴论、控制论、通讯数学、优选法、线性规划、动态规划、算法语言、滤波理论、纤维纵理论等 一、关于数学 现代数学的特征：研究对象和应用范围扩展，研究更具有普遍意义的量：向量、矩阵、张量、旋量、超复数、群等；概念更加抽象；集合论占统治地位；计算机技术渗透 一、关于数学 中国古代数学的特征及其在数学史上的地位 算术十分发达，影响了印度和阿拉伯数学（算筹在春秋时期已使用，算盘发明于宋元时期，对后世计算影响极大） 代数方法独特，适用范围深广 几何重视计算，不追求演绎 一、关于数学 数学的主要分支 代数学：线性代数、群论、环论、域论 数论：初等数论、解析数论、代数数论、几何数论 几何学：欧氏几何、解析几何、非欧几何、射影几何 一、关于数学 分析学：函数论、微积分、泛函分析、微分方程 统计学：概率论、数理统计 运筹学：排队论、对策学、优选法 计算数学：算法语言、计算方法 一、关于数学 数学