用四个边长为1的正方形组成的「四连方」有如图的七种.docVIP

用四個邊長為1的正方形組成的「四連方」有如圖的七種： 用這些四連方拼成一塊7 ( 4的矩形最多可以用這七種連方中的幾種？ 【】( 4的矩形塗成黑白相間如圖： 其中黑格與白格各有14個 再將七種「四連方」也塗成黑白相間，， 若要放入七種「四連方」，，( 4的矩形為14黑14白 故不可能 (2) 又下列例子說明可以放入六種「四連方」拼成一塊7 ( 4的矩形 故最多可以用六種「四連方」拼成一塊7 ( 4的矩形 【】，、、、、、。( 4的矩形以外，( 4的矩形，。 如右圖：AD是∠A的平分線，I在AD上， 且∠BIC＝90o＋∠BAC。求證：I是△ ABC的內心。 【評析】 幾何證明的逆定理常用的方法是反證法，利用另一個假設成立然後證明其矛盾，或者證明其重合，此題發絕大部分的學生用此法來證明。但也有利用做輔助線直接來證明，這也是非常漂亮的證法，我們將此兩種漂亮的證法皆提供給大家參考，以下是參加同學的得分 就 讀 學 校 姓 名 得 分 就 讀 學 校 姓 名 得 分 北縣中和國小 夏誌陽 7 北縣江翠國中 賴紹文 7 北市薇閣國中 林志昶 5 北市敦化國中 許倫愷 7 北市中正國中 薛竣壬 5 北市敦化國中 時丕勳 7 北市士林國中 姜俊宇 7 彰化精城國中 王建詒 7 北縣永和國中 陳璿宇 7 北市師大附中 王思貽 7 新竹光華國中 楊涵傑 7 參考解答： 方法一：如下圖，設M為ΔABC的內心，因未知M在I 的上方或下方，分別將M於上方及下方設與分開來討論： 當 M 在 I 的上方 ∠BC=∠BAC+∠AB+∠AC ∠BAC+∠ABI+∠ACI=∠BIC=90+∠BAC ∵ 為ΔABC的內心，故 ∠BC=90+∠BAC (矛盾) 同理當 M 在 I 的下方 ∠BC=∠BAC+∠AB+∠AC ∠BAC+∠ABI+∠ACI=∠BIC=90+∠BAC ∵ 為ΔABC的內心，故 ∠BC=90+∠BAC (矛盾) 所以 I為ΔABC的內心 （北市師大附中王思貽同學、北市士林國中姜駿宇同學提供） 方法二： 作∠B，∠C 外角的平分線交於J，J為ΔABC 的傍心 ，∠BJC=90-∠BAC 作ΔABC 的外接圓交AD直線於P點，連接BP，CP ∵∠BAP=∠CAP，∴ ∠BIC+∠BJC=90+∠BAC+90-∠BAC=180 ∴ B、I、C、J 四點共圓 ，作此圓 ∠BCJ=∠PCJ+∠BCP=∠PCJ+∠BAC，∠JCQ=∠PJC+∠BAC ∵∠BCJ=∠JCQ ∴∠PCJ=∠PJC ∴ ∴ P 是 B、I、C、J 四點共圓的圓心 ∠ICJ=∠ICB+∠DCJ=90 ∠ICJ=∠ICB+∠BCJ=90 ，又 ∵∠ACI+∠JCQ=90 ∠BCJ=∠JCQ ， ∴ ∠ICB=∠ACI ∴ 是 ∠C 的內角平分線 同理可證 是 ∠B 的內角平分線，∴ I 是ΔABC 的內心 （北縣中和國小夏誌陽同學提供） 以90個單位立方體與一個邊長為a，一個邊長為c的立方體，構成一個邊長為c的立方體其中a,b,c都是正整數，試求出a,b,c。 解：根據題意：可以列式子c3＝a3＋b3＋90。易知，c a ＋ b，所以，90＝c3－a3－b3 ≧3ab(a＋b)( ab(a＋b)≦30 不妨假設a≦b ( a的可能值為: 1.2.3.5.6.10,15,30。但是，5及5以上的值明顯地不可能。經驗算易得 a＝2，b＝3，c＝5或a＝1，b＝5，c＝6，加上a,b的對稱情形共四種。 解題評註： 本題解題的關鍵和大多的數論問題相同，就是設法找出滿足這個等式中未知數的範圍。同學們大致也能抓住這個重點，當中的差別僅僅在於敘述的繁簡不同。基本上同學的寫法都相當的不錯，這點是相當值得嘉許的。被扣分的兩位同學最主要的原因是沒有考慮到 a3＋b3 c3?的情形。 斯諾克是一種撞球遊戲,遊戲的簡要規則如下 正常情況:一次最多只有一球進袋,沒有違規情事發生(以下規則皆在正常情況下) 遊戲的開始,在球台上規定的位置擺上15顆紅球與6顆色球(分別是黃,綠,棕,藍,橙,及黑色球各一顆);並在規定的區域擺一顆白球(也稱母球) 遊戲由兩人進行 每人每次出桿撞擊白