浅析因式分解数学学士学位论文.doc

因式分解浅析 摘 要：因式分解是数学中恒等变形的一种重要的方法，它在初等数学乃至高等数学中，都有广泛的应用。本论文首先运用类比和大量的举例对因式分解概念作了说明；其次给出了因式分解的一些方法以及应用过程，然后对因式分解中所涉及到的数学思想作了归纳和总结；最后通过调查分析了解了学生在学习因式分解中常出错的地方，并给出了应对方法。因为本论文主要从理论上阐述了因式分解中的一些重要内容及方法，因此对于一般因式、数域、公因式等的定义都没有另行叙述而直接采用。 关键词： 因式分解 概念 方法 思想 错误分析 一、因式分解概念 在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：；在此基础上，由数向式过渡，我们得到因式分解的一般定义： 通常把一个多项式分解为几个不能再分的因式的乘积，称作多项式的因式分解。 对于一个多项式能否因式分解，不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论，为了说清楚这个问题，我们必须引进几个概念。 1．所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式中的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。 例1 分解的因式 在有理数域中，它的分解式是：，分解到这里就不能再继续分解，不然的话，分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域中，它的分解式是：，分解到这里，就不能再继续分解。在复数域中，它的分解式：。由此可见，对多项式的分解，必须先明确系数的数域，再理解其不能再分的含义。 2．当然因子和非当然因子。在给定的数集内，任一多项式总能被该数集内的一个非零数整除，而且所除得的商与原多项式只差一个非零数值因子。 例2 在有理数集内分解 这种和原多项式只差一个非零数值因子的多项式叫做原多项式的当然因子，一切其他因子叫做原多项式的非当然因子。如上例中，，，，…等是的当然因子，而，是它的非当然因子。因此，我们研究多项式的因式分解，只是从它能否表示成非当然因子的积来考虑的。 3．可约多项式和不可约多项式。在某个数域上次数的多项式，如果他不能表示成这个数域上两个次数比的次数低的多项式的乘积，我们称多项式为这个数 域上的不可约多项式。按照定义，一个多项式是否可约，是依赖于它的系数域的。当系数域改变后，它的可约与否就可能改变。如在指定的数集内多项式有非当然因子，那么这个多项式在这个数集内是可约的，否则就叫做不可约。 关于因式分解中不能再分问题，有几个重要命题。 （1）在复数域。 推论1 多项式总可以在复数域中分解成个一次式的积。 推论2在复数域上，只有一次式是不可约的，任何大于的多项式都是可约多项式。 定理1如果实系数次多项式有一个虚数根（其中，为实数，），那么也是的根。 例3 在复数域上分解下列各式： 其中，（，，…，） （2）在实数域。 定理2在实数域中只存在一次和二次不可约多项式；任何次数的多项式总是可约的。在实数集内，一个二次三项式是不可约的充要条件是：。 例4 在实数域上分解下列各式： (的，在实数域上不能再分) （因为在实数域上最多有二次不可约多项式，像上面的一定可以再分，这一点往往会被忽略） （3）在有理数域。 除一次式不可约外，次数高于一次的多项式，都可能会是不可约的。有理系数多项式可以归结为整系数多项式来讨论。 设是有理系数多项式，选取适当的整数乘以，总可以使是整系数多项式，如果的各项系数有公因式，可以提出来，即，，其中是各项系数互质的整系数多项式。 例5 ，这里 。 关于整系数多项式的因式分解，有以下定理： 定理3（艾森坦因判别法）设是一个整系数多项式，如果有一个素数使得 那么在有理数域上不可约。 例6 证明下列各式在有理数域上不可约。 ① 证：，，，，；取，因为能整除，，,，；不能整除，不能整除，由艾氏判别法知，原式在有理数上不可约。 ② 证：因为，，；取素数，那么不能整除，不能整除，能整除，故由艾氏判别法知，在有理数域上不可约。 在中学课本中，一方面以“把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。”来替代本文开头的严格定义；另一方面又加了几个注意：“分解因式必须分解到每一个因式都不能分解为止。”而在中学范围内，学生所掌握的数还只限于有理数。因此，“分解到每一个因式都不能分解为止”是指所分得因式的系数为有理数。随着学生接触的数的范围不断扩大，这句话就有了新的意义，有些本来认为不能再分解了，而这时还可以继续分解。因此交代这个“注意”时不要把话说死了，而要留有余地。 二、 因式分解的一般解法 ㈠ 一元多项式的因式分解 1．根据多项式的有理根，要是的根则就是的因式，根据多项式的有理根可知，要是得根必须是的形式，其中,是多项式最高次项系数的约数，是多项数常数项的约数。给出所有的的值再逐一的验证，实际问题中的根往往是整数，所以我们可以优先验证整数，在具体的题里我们可以优先验证那些相对小的整数。 2．根据多项式的标准分解