高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课.ppt

第七章 空间解析几何与向量代数习题课 解： 已知直线上点 在所给平面上，该点坐标满足 平面方程； 解之得 。 【例6】已知直线 在平面 ， 求 的值。 分析：直线在平面上，则直线上的点都在平面上、直线 的方向向量与平面的法向量垂直。 与平面 的法向量 应相互垂直，即 。则有 关系式 其次，直线的方向向量 求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。 【例7】求过点 且通过直线 的平面方程。 分析： 直线上一点及已知点可确定一向量，直线有方向向量；所 解：直线上的点 及已知点 在所求平面上， 两点构成向量 ，直线方向向量 ； 所求平面方程为 即 所求平面的法向量 ， ，于是可取 【例8】已知两直线 求过 且平行于 的平面。 分析：所求平面过直线 ，则过直线上点，由平面的点法式， 关键是求出平面的法向量，有两种方法： （1）用向量积得出与两直线的方向向量都垂直的向量； （2）先设出平面的法向量，再由条件定系数。 解法1: 直线 上的点 在所求平面上；又所求平面的 法线向量 与已知二直线 的方向向量 、 都垂直，从而可取 于是所求平面方程为 即 解法2：设所求的法向量为 过直线 上的点 的方程为 已知二直线 的方向向量为 、 ， 因为 平面 过 ，所以 ，又因为 ，所以 ，则有 解得 取 则 。 平面方程为： 即 【例9】求直线 与直线 的夹角。 分析：关键是求出直线 的方向向量，可用向量积求得。 解：直线 的方向向量是 ，而直线 的方向 向量 分别与两向量 ， 垂直,则可取 从而直线 与直线 的夹角 的余弦为 因此 【例10】求过点 ，垂直于直线 且平行于 平面 的直线方程。 可用向量积求 。 分析：由本题的条件知，求直线的方向向量 垂直于已知 直线的方向向量 ，也垂直于已知平面 的法向量 解：设所求直线 的方向向量为 ，已知直线 的方向 向量 ,已知平面 的法向量为 ， ， ，所以， ，故可取 已知 * 一、向量的基本概念 1．向量的坐标: 2．向量的模: 方向余弦为: 设起点 和终点 ,则 3．方向角：向量 与三个坐标轴正向的夹角 Ⅰ 向量代数 4．单位向量： 5．向量的投影： 二、向量的运算 1．线性运算 （1） （2） 2．数量积 （1）定义： （2）坐标表示： ② 分配律： ③ 结合律： （4）向量的夹角： （5）性质： 2．向量积 （1）定义： （3）运算律： ① 交换律： 方向： 垂直 与 确定的平面，且符合右手规则。 ③ 结合律： （4）性质： ② 分配律： ① 反交换律： （3）运算律： （2）坐标表示： 一、平面与直线的方程 1．平面方程 : （1）点法式方程： 其中 为平面的法向量， 为平面的 一定点。 （2）一般方程： （3）截距式方程： ，其中 分别为平面在 三坐标轴 上的截距。 2．点到平面的距离： Ⅱ 平面与直