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基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
(1)若,则
(2)若,则
2、基本不等式一般形式(均值不等式)
若,则
3、基本不等式的两个重要变形
(1)若,则
(2)若,则
总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;
当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;
特别说明:以上不等式中,当且仅当时取“=”
4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”
5、常用结论
(1)若,则 (当且仅当时取“=”)
(2)若,则 (当且仅当时取“=”)
(3)若,则 (当且仅当时取“=”)
(4)若,则
(5)若,则
特别说明:以上不等式中,当且仅当时取“=”
6、柯西不等式
(1)若,则
(2)若,则有:
(3)设是两组实数,则有
二、题型分析
题型一:利用基本不等式证明不等式
1、设均为正数,证明不等式:≥
为两两不相等的实数,求证:
3、已知,求证:
已知,且,求证:,且,求证:
6、(2013年新课标Ⅱ卷数学(理)选修4—5不等式选讲
设均为正数,且,证明:
(Ⅰ); (Ⅱ).
7、(2013年江苏卷(数学)选修4—5不等式选讲已知求证:,求函数的最小值;
2、已知,求函数的最大值;
题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数)
1、当时,求的最大值;
变式1:当时,求的最大值;
变式2:设,求函数的最大值。
2、若,求的最大值;
变式:若,求的最大值;
3、求函数的最大值;
(提示:平方,利用基本不等式)
变式:求函数的最大值;
题型五:巧用“1”的代换求最值问题
1、已知,求的最小值;
法一:
法二:
变式1:已知,求的最小值;
变式2:已知,求的最小值;
变式3:已知,且,求的最小值。
变式4:已知,且,求的最小值;
变式5:
(1)若且,求的最小值;
(2)若且,求的最小值;
变式6:已知正项等比数列满足:,若存在两项,使得,求的最小值;
题型六:分离换元法求最值(了解)
1、求函数的值域;
变式:求函数的值域;
2、求函数的最大值;(提示:换元法)
变式:求函数的最大值;
题型七:基本不等式的综合应用
1、已知,求的最小值
2、(2009天津)已知,求的最小值;
变式1:(2010四川)如果,求关于的表达式的最小值;
变式2:(2012湖北武汉诊断)已知,当时,函数的图像恒过定点,若点在直线上,求的最小值;
3、已知,,求最小值;
变式1:已知,满足,求范围;
变式2:(2010山东)已知,,求最大值;(提示:通分或三角换元)
变式3:(2011浙江)已知,,求最大值;
4、(2013年山东(理))设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为B.C.D.
是正数,满足,求的最小值;
题型八:利用基本不等式求参数范围
1、(2012沈阳检测)已知,且恒成立,求正实数的最小值;
2、已知且恒成立,如果,求的最大值;(参考:4)
(提示:分离参数,换元法)
变式:已知满则,若恒成立,求的取值范围;
题型九:利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
若,则
2、二维形式的柯西不等式的变式
3、二维形式的柯西不等式的向量形式
4、三维柯西不等式
若,则有:
5、一般维柯西不等式
设是两组实数,则有:
题型分析
题型一:利用柯西不等式一般形式求最值
1、设,若,则的最小值为 时,
析:
∴最小值为
此时 ∴ ,,
2、设,,求的最小值,并求此时之值。
:
3、设,,求之最小值为 ,此时
(析:)
4、(2013年湖南卷(理))已知(2013年湖北卷(理))设,且满足:,,求的值;
6、求 的最大值与最小值。(:最大值为,最小值为 ()
析:令 ( (2sin(,cos(,( cos(),( (1,sin(,cos()
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