对数函数图形的应用.PPT

* 一、對數函數及其圖形 1. 對數函數的意義： 我們稱之為「以 2 為底數的對數函數」。 一般而言，當 a 0 且 a ? 1， 我們稱之為「以 a 為底數的對數函數」 給定任意實數 x， 2. 對數函數的圖形： ( a 0，a ? 1 ) 平面坐標上， 的點 (x, y) 所成的圖形。 To be continued ? 範 例 x 1 0 ?1 ?3 ?2 1 2 3 … 2 8 4 … … … x y O 8 4 2 1 2 1 3 ?2 ?1 ?3 範例：用描點的方式作出 解：圖形如右所示。 的圖形都具有 (1)、(2) 與 (3) 的性質。 一般而言， (3) 當 ? ? 時， 為嚴格遞增。 即圖形由左往右逐漸上升，且越往右邊爬升越慢， 而越往左邊則越接近 y 軸(即 y 軸為漸近線)。 (2) 圖形過點(0, 1)， (1) 圖形在 y 軸右方，因為真數 x 0。 注意： Let’s do an exercise ! x 1 0 1 3 2 ?1 ?2 ?3 … 2 8 4 … … … x y O 8 4 2 1 2 3 ?2 ?1 ?3 馬上練習：用描點的方式作出 解：圖形如右所示。 (1)、(2) 與 (3) 的性質。 一般而言， (3) 當 ? ? 時， 為嚴格遞減。 即圖形由左往右逐漸下降，且越往右邊下降越慢， 而越往左邊則越接近 y 軸(即 y 軸為漸近線)。 (2) 圖形過點 (0, 1)， (1) 圖形在 y 軸右方，因為真數 x 0。 注意： To be continued ? 1 x y O 8 4 2 1 2 1 3 ?2 ?1 ?3 本段結束 3. 範例： 解： 四數的大小關係。 Let’s do an exercise ! 馬上練習. 解： 三數的大小關係。 ＃ x y O 8 4 2 1 2 3 ?2 ?1 ?3 4. 範例：設 x 為正實數， 解： 1 Let’s do an exercise ! x y O 8 4 2 1 2 3 ?1 ?2 ?3 馬上練習：設 x 為正實數， 解： 1 ＃ 5. 範例：已知四個對數函數圖形如右所示， 試比較 1、a、b、c、d ，五數的大小關係。 故所求為 c d 1 a b 。 分別為 c、d、a、b， 當 y = 1 時，P、Q、R、S 四點 解： x y O 1 (由右而左)的 x 坐標 P Q R S 1 ＃ x O y = x y A(? , ?) B(? , ?) P(t , t) 二、對數函數與指數函數的關係： 對稱於直線 y = x 。 1. 範例：(1) 試證：點 (? , ?) 與點 (? , ?) 對稱於直線 y = x 。 解：(1) 設 P(t , t) 為直線 y = x上任一點， 故點 A(? , ?) 與點 B(? , ?) 對稱於直線 y = x 。 ∵ 等腰三角形的高必垂直平分底邊。 亦在直線 y = x 上， 且 A(? , ?)，B(? , ?)， To be continued ? ( 2 ) y=2x x 0 1 ?1 ?3 ?2 1 2 3 … 2 8 4 … … … 1 2 8 4 … … x 0 ?1 ?3 ?2 1 2 3 … … 注意： x O y = x y (1, 0) (1, 0) A(? , ?) B(? , ?) Let’s do an exercise ! x 0 1 ?1 ?3 ?2 1 2 3 … 2 8 4 … … … 1 2 8 4 … … x 0 ?1 ?3 ?2 1 2 3 … … x y O y = x (1, 0) (0, 1) 馬上練習： 解： 注意： A(? , ?) B(? , ?) ＃ 2. 範例：底數大於 1 的對數函數，其圖形為凹口向下。 證明： 同理，底數大於 1 的對數函數，其圖形為凹口向下。 ? A 與 B 兩點的連線段在所對應之對數函數圖形的下方。 To be continued ? 注 意 注意：底數小於 1 的對數函數，其圖形為凹口向上。 ? A 與 B 兩點的連線段在所對應之對數函數圖形的上方。 Let’s do an exercise ! 馬上練習： 試比較 p、q、r 的大小。 解： 故 r q p。 ＃ x (1,0) y O (0,1) y=ax , 0a1 y=x x (0,1) y O (1,0) y=ax , a1 y=x 三、對數函數圖形的應用 (1) 圖形在 y 軸右方，因為真數 x 0。 (2) 圖形過點 (1,0)， (3) 底數 a 1：當 ? ? 時， ? 遞增函數。 與 y = ax 的圖形對稱於直線 y = x。 恰交於一點， (4) 平行 x 軸的水平線和