根和系数关系四种应用类型.pptx

习题课阶段方法技巧训练（一）专训2　根与系数的关系的 四种应用类型 利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0. 因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.1利用根与系数的关系求代数式的值类型1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解 方程求下列各式的值． (1)(x1－3)(x2－3)； (2)； (3)x1－x2. (1)(x1－3)(x2－3)；根据一元二次方程根与系数的关系，有x1＋x2＝ ，x1x2＝－ (1)(x1－3)(x2－3) ＝x1x2－3(x1＋x2)＋9 ＝－ －3×＋9＝3.　解： (2)；解： (3)x1－x2；(3)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝ －4× ＝ ∴x1－x2＝±＝±解：2利用根与系数的关系构造一元二次方程类型2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是 方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．设方程5x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ 设所求方程为y2＋py＋q＝0，其两根为y1，y2，令y1＝－ ，y2＝－ 解：∴p＝－(y1＋y2)＝－ ＝ ＋ ＝ ＝ q＝y1y2＝ ＝∴所求的方程为y2＋ y－ ＝0， 即3y2＋2y－5＝0.3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围类型3．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足 5x1＋2x2＝2，求实数m的值．(1)∵方程x2－4x＋m＝0有实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0， ∴m≤4.解：(2)∵方程x2－4x＋m＝0的两实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝4，① 又∵5x1＋2x2＝2，② 联立①②解方程组得 ∴m＝x1·x2＝－2×6＝－12.解：4巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性类型4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋ k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使 (2x1－x2)(x1－2x2)＝－ 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k≥0，∴k＜0.解：∵x1，x2是方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，x1x2＝∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－又∵(2x1－x2)(x1－2x2)＝－∴－ ＝－ ∴k＝经检验，k＝ 是方程－ ＝－ 的解．又∵k0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－ 成立．