第八章 tao 函数教学课件.ppt

* 第八章 G 函数 数学物理方法—— 8.1 G 函数的定义和基本性质 定义 最基本的特殊函数： ，右半平面的解析函数，称为第二类欧拉积分，t 应理解为 。 含参量的反常积分的解析性 定理 设 ① f(t, z)是 t 和 z 的连续函数，t a， ② 在 上单值解析 ③ 在 上一致收敛，即 ， 当T2T1T(e) 时， 则 在 内解析， 且 只要选取 N x，积分 收敛，即 收敛 收敛 基本性质 ? ? 证明 证明 ②‘ 证明 阶乘函数 有 因而 与假设矛盾。 ? 证明 ③‘ ∵ ∴ 在全平面无零点 ③“ 证明 假设 则 ? 倍乘公式 证明 作变换 则 对换 u 和 v 可得 u v 平面第一象限的面积积分=两倍的阴影面积 作变换 则 雅各比行列式： 令 则 所以 斯特林公式 G 函数的渐近展开： 时， 物理中常用到： ? 例题 解 求积分 令 ∴ 例题 求证 证明 令 则 当 时， 所以 例题 解 求积分 令 则 例题 解 求积分 令 则 例题 解 将 用 G 函数表示 因为 所以 例题 解 将 用 G 函数表示。 由上题可知 所以 例题 解 计算积分 ∴ 都是 的一阶极点，留数均为1，除这些 点外 在全平面解析 ② 8.2 Y 函数 定义 Y 函数是 G 函数的对数微商， 性质 ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 特殊值：欧拉常数 利用 Y 函数可求通项为有理式的无穷级数之和。 无穷级数 ，p(n)、d(n) 为 n 的多项式，且 d(n) 为 n 的 m 次多项式。 d(n) 的全部零点为 un 的一阶极点，则 （部分分式） 必须有 ，即 ，以保证 un 收敛。 *