2019版高考数学一轮总复习：第四章三角函数题组训练28专题研究2正余弦定理应用举例+Word版含答案.doc

题组训练28 专题研究2 正、余弦定理应用举例 1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案： ①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　) A．①②　　　　　　　　　 B．②③ C．①③ D．①②③ 答案　D 解析　由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D. 2.(2017·广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 答案　A 解析　由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50 (m)．故选A. 3．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(　　) A．15米 B．5米 C．10米 D．1米 答案　C 解析　如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h. 在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)． 4．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　) A．1千米 B．2sin10° 千米 C．2cos10° 千米 D．cos20° 千米 答案　C 解析　由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°， ∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160° ＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°) ＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°. 5.(2017·湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝(　　) A．5 B．15 C．5 D．15 答案　D 解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选D. 6．在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　) A. m B. m C. m D. m 答案　A 解析　如图，在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200， ∴BC＝＝. ∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°， ∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°. 在△BDC中，＝. ∴DC＝＝＝(m)． 7．(2018·广东佛山二模)某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80 n mile，BC＝(40＋30) n mile，CD＝250 n mile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从城市A出发以50 n mile/h的速度向城市D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ，则sinθ＝________． 答案　 解析　设轮船行驶至F时收到指令，则AF＝50 n mile.连接AC，CF，过A作AE⊥BC于E，则AE＝ABsin60°＝40(n mile)，BE＝ABcos60°＝40(n mile)，CE＝BC－BE＝30(n mile)，AC＝＝50(n mile)，所以cos∠ACE＝，sin∠ACE＝，所以cos∠ACD＝cos(135°－∠ACE)＝－×＋×＝＝，所以∠CAD＝90°.因为AF＝50 n mile，AC＝50 n mile，可得∠AFC＝60°，所以θ＝75°－∠AFC＝15°，故sinθ＝. 8．要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度． 答案　40米 解析　如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中， 由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝x. 在△BDC中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°.