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复数 2001新资料 ? (第1页，共5页) （一） 考试内容和考试要求1．考试内容 数的概念的发展，复数的有关概念，复数的向量表示。 复数的加法与减法。复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与除法，复数三角式的乘方与开方。 2．考试要求 （1）理解复数及其有关的概念，掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换。 （2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数代数形式的加法、减法、乘法，除法的运算，能正确地进行复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方的运算，并理解复数运算和几何意义。 （3）掌握在复数中解实系数一元二次方程和二项方程的方法。 （二） 知识方法归类1．本章内容概念很多，要认真梳理、理解和应用。 （1）复数的代数形式：形如a +?bi (a，b∈R)的数叫复数，实数a、b?分别叫做实部和虚部。b=0时，a + bi为实数；b≠0时，a + bi为虚数；若a?=?0?时且?b≠0?时，a + bi叫做纯虚数。{复数}={实数}∪{虚数} a，b，c，d∈R，a + bi = c + di a＜＝＞c，b = d （2）复数?z = a +bi (a，b∈R)可与直角坐标平面上的点Z（a，b）建立一一对应的关系，建立了直角坐标平面来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴。 复数?z = a +bi也可以用向量?Oz 来表示（其中O为原点，Z（a，b）为?z?对应的点），要特别注意相等的向量表示相同的复数，x?正半轴为始边，oz为终边的角叫做复数?z?的辐角，辐角θ满足?0≤θ＜2π?的叫辐角的主值，记为argz。复数?z?的模|z|= =|oz| 复数的模和辐角是研究复数问题的重要几何要素。（3）复数的三角式：z = r(cosθ+ isinθ)，其中r为模，θ为辐角，显然，r·cosθ和r·sinθ分别就是实部和虚部。 （4）a、b∈R，z = a +bi?和?z = a－bi互为共轭复数，共轭复数的几何特征是复平面上对应的点关于实轴对称， ?z?= z＜＝＞z∈R，这时复平面上对应点在实轴上；若 z?= -z且 z≠0 z为纯虚数，这时复平面上对应点在虚轴上。 共轭复数的代数特征是：①z·z =?｜ｚ|2；② z?+?z =2a∈R，z?-z =2bi（纯虚数或零）；③ =z ? 　　2．由于复数集是实数集的扩充，数系扩充后，各种运算律（加法、乘法的交换律、结合律，加法对乘法的分配律）都全部保持，掌握这点对理解复数中的各运算法则，并灵活地运用很有好处。 （1）不全是实数的两个复数之间没有大小关系。 （2）复数的加减法的几何意义，分别是平行四边形的两条对角线，要注意所代表向量的方向：，其中0、z1、z2是平行四边形的四个顶点，当0、z1、z2?三点共线时，可看成退化的平行四边形。 复数的乘除法的几何意义是旋转和伸缩： 设?z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）z1·z2?=?r1·r2 [cos (θ1+θ2)+isin (θ1+θ2)] （3）共轭复数的运算性质模的运算性质：① | z1·z2| = |z1|·|z2|② ③┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2| （4）| z1－z2| = | z1－z2|，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线方程。 （5）复数的开方：设z = r (cosθ+ isinθ)，其中r＞0，则z的n次方根有n个，它们是： k=0，1，2，…n-1 其对应复平面上的点是把原点为圆心， 为半径的圆分成?n?等份的点。 3．利用复数可解判别式△＜0的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0，a，b，c∈R），这时其根为 它们互为共轭复数。 若a，b，c中有虚数时，可用因此分解方法，或先配方，后求平方根的方法。 利用复数开方的方法，可解形如axn+ b = 0（a≠0，b≠0）的二项方程 [第1页]　　[第2页] ? [第3页][第4页][第5页] 复数 2001新资料 ? (第1页，共5页) （一） 考试内容和考试要求1．考试内容 数的概念的发展，复数的有关概念，复数的向量表示。 复数的加法与减法。复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与除法，复数三角式的乘方与开方。 2．考试要求 （1）理解复数及其有关的概念，掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换。 （2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数代数形式的加法、减法、乘法，除法的运