07离散型随机变量期望(一).ppt

* 设离散型随机变量 可能取的值为 为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列. 取每一个值 的概率 则称表 对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差. 复习引入 思考下面的问题: 0.22 0.29 0.28 0.09 0.06 0.04 0.02 10 9 8 7 6 5 4 ξ 某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数. 分析：平均环数=总环数?100 所以,总环数约等于（4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100. 故100次射击的平均环数约等于 4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32. 一般地，随机变量ξ的概率分布列为 则称 为 的数学期望或均值，简称为期望. 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 结论1： 则 ; 结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np. 一、数学期望的定义: 结论3:若随机变量?服从几何分布，则E ?=1/p 所以， 的分布列为 结论1： 则 ∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + 　　　…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 ∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k 证明： =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + 　 　Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) 结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np 1、随机变量ξ的分布列是 0.2 0.3 0.5 P 5 3 1 ξ (1)则Eξ= . 2、随机变量ξ的分布列是 2.4 (2)若η=2ξ+1，则Eη= . 5.8 0.2 b a 0.3 P 10 9 7 4 ξ Eξ=7.5,则a= b= . 0.4 0.1 3.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= . （2）E(ξ－Eξ)= . -4.5 0 例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,求他罚球1次的得分?的期望。 例2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数?的期望。 例3：有一批数量很大的产品，其次品率是15％. 对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次. 求抽查次数?的期望（结果保留三个有效数字）. 注：若随机变量X服从两点分布,则 EX=p 练习：两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现的次品数?1， ?2的分布列是 0.2 2 0.1 0.3 0.4 P 3 1 0 ?1 0.2 2 0 0.5 0.3 P 3 1 0 ?2 如果两台车床的产量相同，哪台车床更好一些？ 不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分 例4.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. 解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是ξ和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)， 所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5． 由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ和5η.