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* 定义5.1.1 三、一般最小二乘拟合问题 例如: 一般地, 为定义在X上的广义多项式,记为 定义残差的平方和: 最小二乘问题为:求解极小值问题 加权最小二乘拟合问题 各点的重要性可能是不一样的 重度: 即权重或者密度,统称为权系数 定义加权残差的平方和为 最小二乘问题可推广如下: 由多元函数取极值的必要条件 得 即 即 引入记号 并定义内积: 正规方程组 正规方程组便可化为: 将其表示成矩阵形式 根据Cramer法则,法方程组有唯一解: 因此 作为一种简单的情况: 基函数之间的内积为 法方程组为: 例5.1.5 回到本节开始的实例,从散点图可以看出 纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系 故可选取线性函数 为拟合函数,其基函数为 建立法方程组: 根据内积公式,可得 法方程组为: §2. 最佳平方逼近 定义5.2.1 一、 内积空间 定义5.2.2 性质5.2.1 (Cauchy-Schwarz不等式) 定义5.2.3 定义5.2.4 不难算出 定义5.2.5 性质5.2.2 性质5.2.3 性质5.2.4 (勾股定理) 性质5.2.5 (平行四边形等式) 和一般的线性赋范空间不同,内积空间有更好的几何性质: 二、 函数的最佳平方逼近 上述问题等价于求多元函数 的最小值。 由多元函数取极值的必要条件 得 于是有 上述方程组称为正规方程组。也可以写为
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