数值分析-第一章引论.pptVIP

* 数值分析 线性代数 参考书: (1) 易大义等编.数值方法.浙江科技出版社 (2) 肖筱南等编.现代数值计算方法.北京大学出版社 (3) K.E.Atkinson.An Introduction to Numerical Analysis * 第一章 引论 数值方法是为研究和求解数学问题提供算法 用数值方法求解数学问题得到的结果通常不是一个解析式,而是一个(组)数值。 如:用数值方法求解一个微分方程,得到的结果不是一个函数的表达式,而是一组数值. 因此用数值方法求得的结果一般说来是原问题的近似解. 第一章行列式 第一节 数值方法的特点 * 一、二阶与三阶行列式 数值方法又称计算方法目前通常用来解决两大类问题; 第一是经典的解析的方法无法解决的问题; 第二是数据处理的问题即由实际问题中得到的数据来推出一些 有关的结论. 用数值方法解决数学问题的过程是: 在此过程中会产生四这种误差:模型误差;观察误差; 方法误差(又称截断误差);舍入误差. * 第二节 误差 一、二阶与三阶行列式 一.绝对误差和相对误差 定义: x是一个精确值(又称理论值),x*是x的一个近似值 e(x*)=x-x*称x*的绝对误差. 称为x*的绝对误差限,又称精度. 定义: 称为x*的相对误差; 称为x*的相对误差限. * 由于在实际计算时,精确值一般是未知的,所以绝对误差和相对误差是难以求出的,我们都是对绝对误差限和相对误差限进行估计,因此以后常常把”限”字省略.另外也常常把绝对误差(限)和相对误差(限)中的”*”省略,直接记为, , 等等.由于误差限是误差的一个上界,所以是不唯一的,而绝对误差常常把末位数的半个单位为基准.写成如下形式 三阶行列式 * 二,全排列及逆序数 二 有效数字 定义：如果x*的绝对误差限不超过x*的某个数位的半个单位, 则从该数位起到x*的首位非零数字都是x*有效数字。 例：x=70.0486,x*=70.049, 则x*有5位有效数字. x=70.0486,x*=70.049 则x*有5位有效数字. x=70.0486,x*=70.049 则x*有5位有效数字. 显然根据四舍五入原则得到的数字都是x*有效数字。 x=0.01826, x*=0.018, 则x*有2位有效数字. x=0.17996, x*=0.1800, 则x*有4位有效数字. x=0.17996, x*=0.18, 则x*是2位有效数字. * 把近似值 记为 这里m为整数位数。 如:x=60.032,则m=2;x=0.60032,则m=0;x=0.0060032,则m=-2 关系1: 逆序数 三 绝对误差,相对误差和有效数字的关系 关系2: * 　　 例 第三节 误差估计的基本方法 由此可得误差在四则运算中的传播方式: * 为了控制误差的快速扩散，在数值计算中要注意几条原则. 三,对换 第四节 数值计算中的几条原则 第一 两个相近的数要避免相减 第二 绝对值很小的数要避免做除数 * Th1 第四 绝对值相差很大的数运算时要注意”机器零”的问题 第五 注意算法的收敛性和稳定性。 所谓收敛性就是所构造的近似值序列要收敛到精确值. 所谓稳定性就是要控制舍入误差,因为不同的算法对误 差的传播有不同的影响,因此在计算时必须对初始数据的误差 加以控制. 第三 要选取适当的算法尽量减少运算次数 * Th1 测得直角三角形的斜边c=75 ,测量误差为0.2,一条直角边 a=32, 测量误差0.1, 求a的对应角A的近似值并估计其误差. 例: (1) a=1.1092, b=0.947,都是经四舍五入得到的近似值,求: a + b , ab 的绝对误差,相对误差以及有效数字. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *