浙江大学统计学第7讲二项分布与泊松分布.ppt

第七章 二项分布与泊松分布 第一节 二项分布的概念 一、Bernoulli试验 在医学卫生领域中的许多试验（或观察）中人们感兴趣的是某事件是否发生。例如，用白鼠作某药物的毒性试验，感兴趣的是白鼠是否死亡；某新疗法临床试验，感兴趣的是患者是否治愈；某指标的化验，感兴趣的是其结果是否呈阳性。若称感兴趣的事件A出现为“成功”，不出现为“失败”，相应的这类试验就称为“成一败型”试验或称为Bernoulli试验。 二、Bernoulli试验序列 满足以下三个条件的n次试验构成的序列被称为是Bernoulli试验序列。 （1）每次试验结果，只能是两个互斥的结果之一（A或非A）。 （2）每次试验的条件不变。即每次试验中，结果A发生的概率不变，均为π。 （3）各次试验独立。即一次试验出现什么样的结果与前面已出现的结果无关。 例如，用小白鼠作一定剂量某种毒物的毒性试验。因为每次试验即每只白鼠用药后的结果是死或活两个互斥结果之一，所以满足Bernoulli试验序列条件（1）。所谓的每次试验条件不变，即要求实验用白鼠用此剂量毒药后发生死亡的概率相同。若体重、种属、性别影响用药结果，而实验用白鼠性别不同（或种属不同，或体重相差较大），则各白鼠的死亡概率不同，也就不满足第（2）个条件。为满足条件（2），实验用鼠必须是同种属、同性别且体重相近的白鼠。各次试验独立，是指一只鼠的死与活不受其他鼠的死与活的影响，这是容易满足的。故只要我们能控制实验用的n只白鼠在用同剂量毒物后发生死亡的概率相同，这n只鼠的毒性试验就构成一个n次Bernoulli试验序列。 三、成功次数的概率分布一二项分布 例7-l 设实验用白鼠共3只，且它们有相同死亡概率，记事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率为π。记事件“白鼠用药后不死亡” 为，相应不死亡概率为l－π。记经试验后3只白鼠中死亡白鼠数为X，则X的可能取值为0、1、2和3，取这些值的概率见表7-l。 表7-1　3只白鼠各种试验结果及其发生概率 一般地构成Bernoulli试验序列的n次试验中事件A出现的次数X有概率分布为： 其中 k＝0，l，…，n。由于是二项式[π·（l－π）]n”展开式中的各项，故称此分布为二项分布。 显然对于不同的n，不同的π有不同的二项分布。n、π是二项分布的两个参数。 若一个随机变量X，它的可能取值是0，l，…，n，且相应的取值概率为： P（X＝k）＝ 则称此随机变量X服从以n、π为参数的二项分布，记为X～B（n，π）。 医学领域中存在许多服从二项分布的变量。例如，由某人群．中随机抽取6人，只要6人中每人是否患某病不受其他人患该病与否的影响，则6人中患某病的人数服从二项分布B（6，π），其中π是该群体中此病的患病率。 四、二项分布的概率计算 例7-2　如果例7-l中的π＝0.4，则3只白鼠中死亡白鼠数X服从以n＝3、π＝0.4的二项分布，即 X～B（3，0．4），据式（7-l）可算得 X各取值的概率： 由公式（7-l）可得二项分布概率计算的递推公式 π 据此递推公式可证明，当 nπ为整数时，此二项分布在 X＝nπ处取最大值；当 nπ不是整数时，相应的二项分布在X＝[nπ]或 X=[ nπ]＋1处取最大值（[ nπ]表示nπ的取整函数）。如本例在X＝[nπ]＝[3*0.4]=1处的概率最大。 第二节 二项分布的性质 一、二项分布的均数与方差 若X～B（n，π），则 X的均数μx＝nπ （7-2） X的方差 X的标准差 例 7-3 例7-1中若π＝0.4，则 3只鼠中死亡鼠数X的 总体均数μx＝3×0.4＝1.2 总体方差 ＝3×0.4×0.6＝0.72 总体标准差 二、二项分布的正态近似 若已知n与π，则按公式（7-1）可计算不同X取值时的概率，然后以X为横轴，取值概率P为纵轴，可绘制出二项分布的图形（如图7-l a、b、c、d）。可以发现二项分布图的形状取决于n、π的取值。当π＝0.5时，图形对称；当π≠5时，图形呈偏态，但随 n的增大，图形逐渐对称。 利用数理统计中的中心极限定理可得，当n较大、π不接近0也不接近1时，二项分布B（n，π）近似正态分布N（nπ， ）。正态分布是许多统计方法的应用基础，二项分布的正态近似拓宽了二项分布的应用范围。 三、样本率的正态近似 一般地，从一个阳性率为π的总体中，随机抽取含量为n的样本，则样本中的阳性数X服从二项分布B（n