高中数学培优大全习题之导数.doc

1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数，，是其定义域内不同的两点，记， ， 则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率． 注：这里，可为正值，也可为负值．但，可以为． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变． 如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率． “当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作： “当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”． 函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作． 这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当时，”或“”． 3．可导与导函数： 如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间 内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4．导数的几何意义： 设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率． 由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于． 题型一：极限与导数 正三棱锥相邻两侧面所成的角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 在正棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 对于任意都有（ ） A． B． C． D． 若，则________． 若，则_______． 设在可导，则等于（ ） A． B． C． D． 若，则等于（ ） A． B． C． D． 设在处可导，为非零常数，则（ ）． A． B． C． D． 设，则（ ） A． B． C． D． 若，则当无限趋近于时，______． 已知函数，则的值为 ． 已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 若，则_______． 已知函数在处可导，则（ ） A． B． C． D． 计算________． _______． 将直线、（，）轴、轴围成的封闭图形的面积记为，则 ． （ ） A． B． C． D．不存在 如图，在半径为的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设为前个圆的面积之和，则（ ） A． B． C． D． ______． 若，则常数_______． _____． _________ ________． __________． （ ） A． B． C． D． ． 设函数，其中，已知对一切，有和，求证：． 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；函数在处的导数 ． 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，，，则 ； ．（用数字作答） 下列哪个图象表示的函数在点处是可导的（ ） 函数在闭区间内的平均变化率为（ ） A． B． C． D． 求函数在到之间的平均变化率． 若函数，则当时，函数的瞬时变化率为（ ） A．1 B． C．2 D． 求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数． 求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数． 已知某物体的运动方程是，则当s时的瞬时速度是_______． 已知某物体的运动方程是，则时的瞬时速度是_______． 已知物体的运动方程是，则物体在时刻时的速度____，加速度 ． 物体运动方程为，则时瞬时速度为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 一质点做直线运动，由始点起经过s后的距离为， 则速度为零的时刻是（ ） A．4s末 B．8s末 C．0s与8s末 D．0s，4s，8s末 如果某物体做运动方程为的直线运动（的单位为m，的单位为s），那么其在s末的瞬时速度为（ ） A．m/s B．m/s