定理（二）设S是自然数集N的非空子集,如果0S,且7.pptVIP

定理(二)：设S是自然数集N的非空子集，如果0?S，且当n?S时，必有n+1?S，则S=N。 定理(三)：设S是自然数集N的非空子集，如果0?S，且当0,1,2,?n?S时，必有n+1?S，则S=N。 数学归纳法，有两种形式： (1)第一数学归纳法 要证一个结论对所有自然数都真，只须做两件事：1)当n=0时，结论成立。 2)若当n=k结论成立，则当n=k+1结论也成立。 (2)第二数学归纳法 要证一个结论对所有自然数都真，只须做两件事： ①当n=0时，结论成立。 ②若当n?k结论成立，则当n=k+1结论也成立 定理(四)：设P(n)是一个与自然数n有关的结论。若对于自然数0，结论成立；并且当对自然数k结论成立时，对于自然数k+1结论也成立，则该结论对所有自然数都成立。 定理(五)：设P(n)是一个与自然数n有关的结论。若对于自然数0，结论成立；并且当对自然数0,1,2,?k结论成立时，对于自然数k+1结论也成立，则该结论对所有自然数都成立。 二、集合的递归定义 定义4.1:集合A的递归(归纳)定义由三部分组成: (1)基础:设置某些对象是在所要定义的集合A中的 (2)归纳(递归):建立一种由集合A的现有元素产生A中新元素的方法。 (3)闭合：除了有限次应用(1)和(2)产生集合A的元素外,A中再没有其它元素。 例：设整数集Z是全集,非负偶整数集E+={x|x≧0,且x=2y,y?Z},它可以递归定义如下: (1)(基础)0?E+。 (2)(归纳)如果n?E+,则n+2?E+。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整数外,再没有其它的整数在E+中。 例：下面的归纳定义所给出的是怎样的集合？ (1)(基础)3?S。 (2)(归纳)如果x,y?S,则x+y?S。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整数外,再没有其它的整数在S中。 3的正整数倍全体。 设Σ是一个有限非空字符集,称为字母表。 从Σ中选取有限个字符组成的串称为Σ上的字符串或字。 设x是Σ上的一个字, x=a1a2…an,其中ai?Σ,1≦i≦n,n是正整数,表示字的长度。长度为0的字称为空串,记为?。 若x,y是Σ上的两个字,x=a1a2…an, y=b1b2…bm,其中ai,bj?Σ(1≦i≦n, 1≦j≦m),则由x和y毗连得到新的字记为xy。即:xy=a1a2…an b1b2…bm。 例:设Σ是一个字母表, Σ上所有的有限非空字符串集合记为Σ+,递归定义如下: (1)(基础)如果a?Σ,则a?Σ+。 (2)(归纳)如果x?Σ+,且a?Σ,则ax?Σ+(ax表示字符a与字x毗连得到的新的字。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生Σ+中的字外, Σ+中再没有其它字。 集合Σ+包含长度为1,2,3,…的字,即Σ+包含无限个字, 但每个字的字符个数是有限的。 例:设Σ是一个字母表, Σ上所有的有限字符串集合记为Σ*,Σ*包含空串，即Σ*=Σ+∪{?},可递归定义如下: (1)(基础)??Σ*。 (2)(归纳)如果x?Σ*,且a?Σ,则ax?Σ*。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生Σ*中的字外, Σ*中再没有其它字。 例如,若Σ={0,1}, 则Σ*={?,0,1,00,01, 10,11,000,001…},是有限二进制序列的集合, 其中包含空序列。 算术表达式集合是包含整数, 一元运算符+,-, 以及二元运算符+,-,* ,/的符号序列所组成的集合, ((3+5)/4), (((-5)+6)*3) 算术表达式集合的递归定义如下: (1)(基础)如果D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}和x?D+ ,则x是算术表达式。其中D+是D上所有非空数字串的集合。 (2)(归纳)如果x和y都是算术表达式, 则 (+x)是算术表达式; (-x)是算术表达式; (x+y)是算术表达式; (x-y)是算术表达式; (x*y)是算术表达式; (x/y)是算术表达式。 (3)(闭合)一个符号序列是一个算术表达式当且仅当它能通过有限次应用(1)和(2)而得到。 后继集合的概念: 设A是任一给定集合,A∪{A}称为A的后继集合, 简称后继, 记为A+。 定义4.2:设N为自然数集, 它的递归定义如下: (1)(基础)??N。 (2)(归纳)如果n?N, 则n+?N(这里n+=n∪{n})。 (3)(闭合)如果S?N,且S满足(1)、(2)则S=N。 自然数集的元素为: ?,?+,(?+)+,((?+)+)+,…, 即为: ?,?∪{?},?∪{?}∪{?∪{?}}… 可以简化为:? ,{?},{?,{?}},… 用记号:=给这些集合命名 例如?命名为0,记为0:=? 0:=?; 1:=0+={?}