范数理论及其应用-武汉理工大学.PPT

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2018-07-05 发布于天津
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范数理论及其应用-武汉理工大学

第5章范数理论及其应用武汉理工大学理学院 5.1 向量范数 Problem：线性空间的向量是否定义其他形式的长度？ Motivation：欧氏空间的内积可以定义向量的范数范数的本性特征。范数的公理化定义 Definition (P108) : 要点：1. 正定性：长度总为正数；零向量长度为0； 2. 齐次性：成比例的向量其长度成比例； 3. 三角不等式：三角形两边之和大于第三边例 Rn上的1-范数，2-范数，p-范数， -范数 Remark 有限维线性空间上的不同范数是等价的。(P113 定理5.1.2) 矩阵范数的公理化定义 Definition (P116) : 要点：1. 正定性 2. 齐次性 3. 三角不等式 4. 相容性：（这是与向量范数不一样的地方） 5.2 矩阵范数例 Rn?n上的几种范数 Remark 上面矩阵范数都是向量范数的类推。 Remark 上面矩阵范数都与相应的向量范数相容。例 Rn?n上的几种范数 5.2 范数的应用主要内容：范数在特征值理论上的应用；范数在数值计算上的应用； @范数在最小二乘解上的应用最小二乘解的问题(1): 最小二乘解满足的条件 Motivation 若线性方程组Ax=b无解，则希望寻找一个最接近的解。 Solution 定义误差(cost)函数：使误差最小！！！ Solution 根据正交投影定理(P039) 或者Laglange乘子法:在驻点处取得极值线性方程组Ax=b的最小二乘解一定满足例求下面方程组的最小二乘解