拉普拉斯变换TheLaplacetransformation授课题目.DOC

PAGE \* MERGEFORMAT 1第九章 拉普拉斯变换（The Laplace transformation）第一讲授课题目：§9.1 拉普拉斯变换的概念 §9.2 拉普拉斯变换的性质教学内容：1、拉普拉斯变换的定义2、拉普拉斯变换存在条件3、拉普拉斯变换的性质学时安排：2学时教学目标：1、正确理解拉普拉斯变换的定义2、了解拉普拉斯变换存在条件 3、掌握拉普拉斯变换的性质教学重点：1、拉普拉斯变换的定义2、卷积和卷积定理教学难点：拉普拉斯变换的性质教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法作业布置：习题九 1-5板书设计：一、 拉普拉斯变换的定义二、 拉普拉斯变换存在条件三、 拉普拉斯变换的性质主要参考资料：1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003.3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000.课后记：1、理解了拉普拉斯积分变换的定义2、拉普拉斯积分变换存在条件，不能正确掌握3、掌握了拉普拉斯积分变换的性质教学过程§9.1 拉普拉斯变换的概念(The conception and property of the Laplace transformation)傅氏变换具有广泛的应用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质就是傅里叶积分变换.但任何东西都有局限性，傅里叶变换也一样，人们对傅里叶积分变换的局限性做了各种各样的改进.一方面提高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换、小波变换等；另一方面，扩大它本身的使用范围，比如本章要介绍的拉普拉斯变换就是.我们知道傅里叶变换对函数有一定的要求，即满足狄利克雷条件，还要求在上绝对可积，才有古典意义下的傅里叶积分变换，而绝对可积是一个很强的条件，即使一些简单函数，有时也不能满足这个条件，引入狄拉克函数后，傅里叶积分变换应用广泛了很多，但对于指数增长的函数仍然不能使用，另外傅里叶积分变换必须在整个实数轴上定义，但在工程实际问题中，许多以时间为自变量的函数，就不能在整个实数上定义，因此傅里叶积分变换在处理这样的问题时，有一定的局限性.19世纪末英国工程师赫维赛德发明了一种算子法，最后发展成了今天的拉普拉斯积分变换，而其数学上的根源还是来自拉普拉斯，所以称其为拉普拉斯积分变换.一、 拉普拉斯变换的定义（Definition which Rupprath varies） 定义（Definition） 设函数是定义在上的实值函数，如果对于复参数，积分 在复平面的某一域内收敛，则称为的拉普拉斯变换，记为，称为的拉普拉斯逆变换，记为，称为像函数，称为原像函数. 事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换的关系:令，则=.由此可以知道，的拉普拉斯积分变换就是的傅里叶积分变换，首先通过单位阶跃函数使函数在的部分为0，其次对函数在的部分乘一个衰减的指数函数以降低其增长速度，这样就有希望使函数满足傅里叶积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换. 例9.1 分别求出单位阶跃函数，符号函数，的拉普拉斯积分变换. 解：，，， 例9.2 求指数函数 的拉氏变换(k为实数).解：所以二、 拉普拉斯积分变换存在条件（Laplasse integral exist conditions） 拉氏变换的存在定理（Laplasse the existence of transformation theorems）： 若函数满足:(1) 在t 3 0的任一有限区间上分段连续;(2) 当时, 的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M 0及c 3 0, 使得 则的拉氏变换在半平面上一定存在, 并且在的半平面内, 为解析函数. 证明 设，则，所以由，可以知道右端积分在上半平面上收敛.关于解析性的证明省略. 注1:大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在(常义下); 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件. 对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在.§9.2 拉普拉斯变换的性质（Change the nature of the laplasse）一、拉普拉斯变换的性质（Change the nature of the laplasse） 1、线性性质（Linear nature） ； 2、相似性质（Similar nature） 设，则对任意常数，有.证明：令，则 例9.3 求的拉普拉斯积分变换. 解： 例9.4 已知，求.解 3、微分性质（Differen