不定积分的概念及其性质-天津城职业学院.DOC

天津城市职业学院 《高等数学》教案PAGE 1 不定积分教学目的：使学生掌握原函数与不定积分的概念及性质; 基本积分公式.教学重点：基本积分公式的推导及应用.教学过程：4-1不定积分的概念4-1-1原函数定义4-1 ： 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一都有或 那么函数就称为 (或)在区间上的原函数。? 例如 因为(sin x)￠=cos x ? 所以sin x 是cos x 的原函数? 又如当x ?(1，+￥)时? 因为? 所以是的原函数。? 提问: cos x和还有其它原函数吗？定理4-1（原函数存在定理） 如果函数在区间上连续，那么在区间I上存在可导函数使对任一x ?I 都有 简单地说就是? 连续函数一定有原函数。? 两点说明? 第一? 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)? 那么f(x)就有无限多个原函数? F(x)+C都是f(x)的原函数? 其中C是任意常数? 第二? f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数? 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数? 则F(x)-F(x)=C (C为某个常数)? 4-1-2不定积分的基本性质1. 不定积分的性质定义4-2 ： 在区间I上，函数的带有任意常数项的原函数称为 (或)在区间I上的不定积分? 记作 ? 其中记号称为积分号称为被积函数称为被积表达式称为积分变量。? 根据定义? 如果F(x)是在区间I上的一个原函数? 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分? 即? 因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数。? 【例1】因为sin x 是cos x 的原函数???所以? 因为是的原函数???所以? 【例2.】求函数的不定积分? 解 当x0时???(ln x)￠?? (x0)?? 当x0时???[]￠?? (x0)?? 合并上面两式???得到 (x10)?? 【例3】设曲线通过点(1， 2)?，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍， 求此曲线的方程? 解 设所求的曲线方程为y=f(x)? 按题设， 曲线上任一点(x，y)处的切线斜率为y￠=f ￠(x)=2x, , 即f(x)是2x 的一个原函数? 因为 ? 故必有某个常数C使= ? 即曲线方程为=因所求曲线通过点(1，2)? 故2=1+C? C=1? 于是所求曲线方程为= 积分曲线? 函数的原函数的图形称为的积分曲线? 从不定积分的定义? 即可知下述关系? ? 或 ? 又由于F(x)是F ￠(x)的原函数? 所以 ? 或记作 ? 。由此可见? 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算） 以记号表示）是互逆的?。 当记号与d 连在一起时，或者抵消， 或者抵消后差一个常数。 定理4-2 如果F(x)是的一个原函数，则F(x)是的全部原函数（其中为任意常数），且的任一个原函数与相差一个常数。2. 基本积分公式表(1)(k是常数)? (2)? (3)? (4)? (5)? (6)? (7)? (8)? (9)? (10)? (11)? (12)? (13)? 【例4】 ? 【例5】 ? 【例6 】? 4-1-3不定积分的基本性质 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和? 即? 这是因为, =f(x)+g(x).性质2 求不定积分时? 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来? 即 (k是常数，k 10)? 【例7.】 ? 【例8】 ? 【例9】 ? 【例10】 ? 【例11】 . 【例12】 ? 【例13】 = tan x - x + C ? 【例14】 ? 【例15】 . 4-2换元积分法教学目的：使学生掌握不定积分的第一换元积分法以及第二换元积分法教学重点：不定积分的第一换元积分法以及第二换元积分法教学过程：