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精算师概率论的资料
十二. 概率与统计
概率来自赌博及其他“未知”事件的预估.丢骰子,我们猜1,2,3,4,5,6出现的百分率为,猜得对不对永远得不到证明,例如掷次,得
,
其中,若第次掷得“1”,我们取;掷不到1,取.这样,
便是所得“1”的比.时,不可能等于;“”只能是我们心中的“信度”:预期趋向无限大时,趋向.只是吾生有涯,骰生亦有涯,这样的预期不可能得到证明,况且,可能有人做了手脚,使充分大时,逼近,而.另外,如果骰子已掷,我用手盖住,偷看,知是2;你没看到,说1的机会或概率是.不仅掷骰子,考试成绩、生意盈亏、天气冷暖及领导民望都可估计,但不一定“准”:有测量或度量误差(measurement error)和概率风险或误差(probability risk或errors).游子情主角子青曾在赌
城拉斯威格斯(Las Vegas)时间:他与未婚妻梅芳白首偕老的机会大,还是赌
大小赢的机会大?这个问题有趣兼可悲.七年后,真相大白,梅芳染上七年之痒,要离开他,能不能白首偕老不再是概率问题,赌大小则仍是概率问题:
例:掷两个公平的骰子,计算得大、小的机会.
解:定义概率(probability)或样本(sample)空间(space)
是可能的结果,
的子集为事件(event),并用表示的元素数.现在
,
,
得大的事件为
,
有15个元素:
(例如 ).
设中各结果发生的概率相等:每个出现的概率都是
.
故出现的概率为
,
小于.
在赌场上,赌大小一赔一,因此,赌客每赌一次在机会上都吃小亏,但往
往赌本及赌注上限比“机会”更重要.将赌注加倍再赌,小赢的机会增加,大输的机会也增加,输到没钱不能再赌,因此有钱人比较化算.赌场赌大小设上限,用来保护庄家.那天,上限未到,子青已无力再赌.
任何一个概率(probability)都满足:
(这里样本空间是有限集合); (1)
; (2)
,,, (3)
其中是空集(不含任何元素),表示并(union),表示交(intersection):或,及.
例:证明
,
,
. (4)
证明:回顾集关于集的余集(complement)是
.
因
(用)
及
(用)
相加,得
,
即
.
一般的情形可用数学归纳法证. 证毕.
学问:有对夫妻,各妻子扔一手帕,成堆,丈夫随意检回,至少有一人
检回妻子扔的手帕的概率是多少?
学答:设为丈夫检回自己妻子手帕的概率,则答案为.视
手帕为个位置,用上公式的符号得
,
,
,
,
,
故由(4)得
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