高等代数实对称矩阵的相似对角化15hynpib.ppt

* * 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵P， 使 为对角阵. 解： * * 于是得正交阵 * 例 求 a , b 的值与正交矩阵 C , 使 解 { * * * 例 实对称矩阵 A 与 B 相似 证 * 四、本章综合例题 例 设 n 阶矩阵 A 的任何一行元素的和都是 a , 求 A 的一个特征值与特征向量 . 解 * * 例 解 * * 例 设 A 是 3 阶矩阵, A－１的特征值是 1, 2, 3 , 解 * 例 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3, A 对应于特征值 1, 2 的特征向量分别是 ： 解 * 作业：第231页，47(偶数题); 48;51; * * § 5.4 实对称矩阵的相似对角化 一、共轭矩阵 二、实对称矩阵的特征值 与特征向量 三、实对称矩阵的相似对角化 四、综合例题 * 实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定 即存在可逆矩阵P , 使得 更可找到正交矩阵C 可以对角化. 使得 * 一、共轭矩阵 共轭矩阵具有以下性质：　　 * 二、实对称矩阵的特征值与特征向量 定理1 实对称矩阵的特征值都是实数 . 证 (知道结论即可) * 一、共轭矩阵 二、实对称矩阵的特征值与特征向量 定理1 实对称矩阵的特征值都是实数 . (知道结论即可) * 推论2 实对称矩阵 A 的特征向量都是实向量 . （重根按重数计算） 推论1 (知道结论即可) * 定理2 实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交 . 证 * 三、实对称矩阵的相似对角化 证明略 定理3 * 必须注意：对角阵中 的顺序 要与特征向量 的排列顺序一致。 * 例1：设 求正交矩阵 ， 使得 为对角阵。 * 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 令 * 令 先正交化： 再单位化：令 * 当 时，齐次线性方程组为 令 得基础解系 单位化得 * 得正交矩阵 有 * 例2：设 求正交矩阵 ， 使得 为对角阵。 解： * 当 时，由 即 得基础解系 只需把 单位化，得 * 当 时，由 即 得基础解系 只需把 单位化，得 * 当 时，由 即 得基础解系 只需把 单位化，得 * 得正交矩阵 有 *