函数定义域总结.docVIP

育才中小学教育机构 地址： 新亚洲花园9栋2D 王老师定义域的求法 一、常规型 注意根号，分式，对数，幂函数，正切 2、常见的定义域 ①当f(x)是整式时，定义域为R。 ②当f(x)是分式时，定义域为使分母不为零的x的取值的集合。 ③偶次根式的定义域是使被开方式非负的x的取值的集合。 ④零指数幂或负指数幂的定义域是使幂的底数不为0的x的取值的集合。 ⑤对数式的定义域是使真数大于0且底大于0不等于1的x的取值的集合。 ⑥正切函数y=tanx, , y= tan x x0 1求函数的定义域。2 求函数的定义域。 复合函数定义域的求法 （1）已知的定义域，求的定义域。 其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。 测试：设函数的定义域为，求函数的定义域。 （2）已知的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 测试：已知函数的定义域为，求函数f(x)的定义域。 （2）已知的定义域，求f(t(x))的定义域。 其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，也就是t(x)的值域，求出t(x)的定义域 测试、已知函数的定义域为，求函数的定义域。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例1 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。 例2 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。 四 参数型 对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例6 已知的定义域为［0，1］，求函数的定义域。 解：因为的定义域为［0，1］，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集： ，即 即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知 （1）当时，F（x）的定义域为； （2）当时，F（x）的定义域为； （3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。 五 对数有关定义域为R （1）y=（a≠0）的定义域为R,则满足 （2）当值域为R则满足 定义域的作用分析 一．利用函数的定义域判断函数是否是同一函数 例1．判断函数与=是否同一函数？ 二．函数定义域是构成函数关系式的重要组成部分 函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数关系式时必须考虑所求函数的定义域，否则所求函数关系式就可能出错.另外，根据函数定义可知函数定义域是非空的数的集合，若一个关系式中某一个变量取值范围的集合是空集，那么这个关系式中的几个变量之间就不能构成一个函数关系式． 例1．把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，求矩形 形长x的函数关系式. 解：设矩形的长为cm，则宽为cm，由题意得： ，故所求的函数关系式为：. 如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围，解题思路还不够严密．因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数或零，即矩形的面积为非正数，这与实际问题相矛盾，故还要补上自变量的范围：，所以函数关系式为：（）. 评析：从此例可以看出，用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，结果很有可能出错. 例3．判断式子y=是否为函数关系式． 解：要使上面的式子有意义，则1-x2≥0且x2-1>0，其解集为空集，由函数定义可知这个式子不表示函数关系式． 评注：解题时若忽视了定义域的作用，则很可能得到一个错误结果． 三．函数定义域对函数值域的限制作用 函数的值域是指全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定后，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应特别注意函数定义域. 其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况： ⑴当时在上单调递增函数； ⑵当时，在上单调递减函数； ⑶当时在上最值情况是：， ．即最大值是中最大的一个值。 例4．求函数的值域． 错解：令 ∴，故所求的函数值域是． 四．函数定义域对函数奇偶性的作用 例1．判断函数y=(1+x)的奇偶性．　 错解∵，∴，∴函数y=(1+x)是偶函数．故在解 例6：判断函数y=sinx，x∈[0，6π]的周期性． 六．函数定义域对函数单调区间的作用 函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，而函数的单调区间是函数定义域的子集，所以讨论函数单调性一定要在函数的定义域内讨论函数的单调