周培源力学竞赛培训_Energymethod_387503296.pptx

高等工程力学材料力学材料力学第三讲 材料力学中的能量方法及应用曹艳平 解决弹性力学问题的两种基本方法微分提法——求解偏微分方程变分提法——能量原理? 引 言 在弹性力学中，微分提法和变分提法是两种等价提法。能量原理相当于将一个边值问题等价成为一个变分极值问题。解决弹性力学问题的两种基本方法例子：? 引 言 求解平衡方程：其中，K 对称正定，等价于如下极值问题：求u，使得上述Π(u) 取得最小值基本概念互等定理虚位移原理虚力原理能量原理在求解超静定问题上的应用能量守恒与动载荷问题? 内容提要 1.基本概念1.基本概念1-1 功和余功1-2 应变能和余应变能1-3 杆件应变能和余应变能 的计算1-1功和余功讨论一般的力和位移关系：? 基本概念广义力与广义位移－ 力——线位移； 力偶——角位移； 均匀分布载荷——？； 均匀分布压力——？；从量纲分析角度看：以力(F)和长度(L)作为基本量纲单位，那么功的量纲即为FL。只要两个物理量相乘得到量纲FL，即为一对广义力和广义位移。称二者为功共轭。一般的力和位移关系dW1-1功和余功功(work)——以位移作为积分变量? 基本概念dW=FP(?)d?W=? dW= ?? FP(?)d ?dWc= ? ?(FP)dFPFP1-1功和余功余功(complementary work)——以力作为积分变量? 基本概念dWc= ?(FP)dFP? dWcWc=?1-2 应变能和应变余能广义的应力－应变关系 ?＝ ? (?), ? = ? (?)? 基本概念?－可以是正应力 也可以是切应力? －可以是正应变 也可以是切应变?1-2 应变能和应变余能应变能(strain energy)——以?为积分变量? 基本概念?? = ? ?(?) d? —应变能密度V?＝ ? ?? dV —应变能?1-2 应变能和应变余能余应变能(complementary strain energy)－以?为积分变量? 基本概念?c = ? ? (?) d ? －余应变能密度Vc＝ ? ?c dV －余应变能?? = ? ? d?由V?＝ ? ?? dV 1-3 杆件应变能和与应变能的计算对于线性问题，同时基于细长梁的基本假定? 基本概念以及 ?＝E? 和?＝G ? 得到：1-3 杆件应变能和与应变能的计算例 1-1(应变能的计算)应变能具有叠加性吗？? 基本概念1-3 杆件应变能和与应变能的计算例 1-1(应变能的计算)应变能具有叠加性吗？? 基本概念对吗？考虑承受： 的细长梁：2.互等定理2.互等定理2-1 功互等定理2-2 位移互等定理 应用能量守恒原理和叠加原理 可以得到两个互等定理 ? 互等定理 ? 功互等定理? 位移互等定理2-1 功互等定理先加F1 ? 互等定理 先加F22-1 功互等定理先加F1 ? 互等定理 δ2-1—F2在F1作用点处产生的位移先加F2δ1-2—F1在F2作用点处产生的位移2-1 功互等定理 ? 互等定理 这个结论不难推广到多个载荷同时作用的情形。定理：一个力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之功，等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的位移上所作之功。2-1 功互等定理 ? 互等定理 例2-1：均质圆盘半径为R，厚度为h，材料的弹性模量为E，泊松比为μ，以匀角速度ω绕通过圆盘中心且垂直于圆盘的轴转动，试求半径R的改变量。解：首先在非惯性系中，考虑圆盘的受力情况：圆盘受到径向的分布惯性力：dP=ρω2rhdA这样一个分布体力的问题，在弹性力学中可以通过求解柱坐标系中的平衡方程来进行求解。这里我们采用功互等定理来求解！考虑对同样的圆盘，边界上施加均布载荷q，这时，圆盘内部受到等轴拉伸，半径为r的圆弧上，径向位移为：设由于匀速旋转导致的半径增大量为ΔR，那么功互等定理可知：将ur和dP带入上式，即可得：讨论：功互等定理在一些特殊情况下，往往能够使得问题得到非常巧妙的解答。这个问题中，待求的是圆盘径向位移。对这个广义位移来讲，大家立即能够想到的对应的广义力是一对径向集中力。但是对于径向集中力的情况，显然这个问题变得更加复杂了。2-1 位移互等定理 ? 互等定理 如果:2-1 位移互等定理位移互等定理 ? 互等定理 若广义力 F1 与另一个广义力 F2 的数值相等，则 F1 在 F2 所在位置引起的对应于F2 的广义位移，在数值上等于F2 在 F1所在位置引起的对应于F1 的广义位移。功互等定理和位移互等定理成立的条件？ 线弹性、小变形； 适用于直梁、变截面梁、曲梁等。广义力和广义位移？3.虚位移原理3.虚位移原理3-1 原理表述与应用范围3-2 卡氏第一定理3-3 势能驻值与最值原理3-1 原理表述与应用范围? 虚位移原理平衡状态外力功We：外力在对应的位移上做的