概率论--练习题.doc

第 PAGE 4 页 共 3 页 得 得 分 一、简答题(每题8分, 共计40分) 1. 事件的独立性是否存在传递性? 即事件A与事件B相互独立，事件B与事件C相互独立，能否推知事件A与事件C相互独立？试举例说明. 解答 事件的独立性不存在传递性. (3分) 反例 独立地抛掷出一枚硬币和一个骰子，令三个事件如下 ，， (6分) 则事件A与事件B相互独立，事件B与事件C相互独立，但事件A与事件C不相互独立. (8分) 2. 给出多维随机变量相互独立和两两独立的概念，为什么说多维随机变量的独立性本质上是随机事件组的独立性？ 解答 设n维随机变量的联合分布函数为，若对所有实数组均有 成立, 称相互独立. (3分) 若对一切1 ≤ i1 i2 ≤ n及都有 成立则n维随机变量两两独立. (5分) 根据分布函数的定义, n维随机变量相互独立即对任意实数向量(x1 , x2, …, xn), n个随机事件Ak={Xk ≤ xk}, k=1,2, …, n， 都相互独立. (8分) 3. 设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P{X=－1}= P{Y=－1}=, P{X=1}= P{Y=1}=，试计算概率P{X=Y}和P{X+Y=0}. 解答 根据X与Y的边缘分布律得下表 (3分) X / Y －1 1 X －1 1 Y 根据随机变量X与Y的相互独立性, 可知上表中四个空格处概率均为, (6分) 有下表 (X , Y) (－1, －1) (－1, 1) (1, －1) (1, 1) p 可得 P{X=Y}=+=, P{X+Y=0}=+= (8分) 注 用其他表达形式得到结果,类比给分. 4. 在区间[0, 2]上任意取两个数x, y，试求两数满足不等式的概率. 解答 “任意选取两个数”意味x和 y在[0, 2]上 等可能被选取，即二维随机点( X, Y)在边长为2 的正方形上服从均匀分布， (3分) 所求概率为 (8分) 5. 假设随机变量X 服从指数分布，试求 Y= min{X, 2}的分布函数，并讨论随机变量Y是否为连续型随机变量，为什么？ 解 (3分) (6分) 连续型随机变量的分布函数处处连续,在y=2处不连续，故Y非连续型随机变量 (8分) 得 得 分 二、 二、证明题 (12分)已知随机变量X与Y相互独立, 且X~U(0,1), Y~B(1, p). 证明X2与Y2相互独立. 证明 需证 对任意的及k = 0,1，随机事件与相互独立. (3分) 因Y与Y2同分布，且X与Y相互独立, 当，k =0,1 (5分) (9分) 当，k =0,1 (12分) 故X2与Y2相互独立. 或证明 任意实数对(x, y), (X2, Y2)联合分布函数G(x, y)满足 得 分 三、 (14分) 设电源电压（单位：V），通常有三种状态：（a）电压 不超过200V；（b）电压在200V~240V之间；（c）电压超过~240V. 在上述三种状态下，某电子元件损坏的概率分别0.1，0.001及0.2，试求1）该电子元件损坏的概率； 2）在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于什么状态？（附：） 得 分 解 记 {电压处于状态a}, {电压处于状态b}, {电压处于状态c}, B={该元件损坏}，则构成Ω的一个划分，且 ，， (3分) ， (8分) 由全概率公式 (10分) （2）由贝叶斯公式 ，， ， (12分) 在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于状态（c）. (14分) 得 分四、(14分)设随机变量相互独立且都服从参数为p的0-1分布，已知矩阵为正定矩阵的概率为. 试求1)参数p的值; 2) 随机变量的概率. 得 分 解 1) 因矩阵正定的充分必要条件是其所有顺序主子式都大于0, 故有