复变函数积分方法总结..doc

1 复变函数积分方法总结 [键入文档副标题] acer [选取日期]  复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段zk-1 zk(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式Sn=k-1nf(?k)(zk-zk-1)= k-1nf(?k)?zk记?zk= zk- zk-1，弧段zk-1 zk的长度 δ=max1≤ cf(z)dz=limδ 0k- 设C负方向(即B到A的积分记作) c-f(z)dz.当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 例题：计算积分1)c （1） 解：当C为闭合曲线时，cdz ∵f(z)=1 Sn=k-1nf(? ∴limn 0 Sn=b-a,即1) (2)当C为闭曲线时，cdz=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分czdz存在，设?k=z ∑1= k-1nZ（k-1）(zk 有可设?k=zk，则 ∑2= k-1nZ（k-1）(zk 因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 Sn= (∑1+∑2)= ∑k-1nz ∴ c2zdz=b2-a 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入cf(z)dz cf(z)dz= c 再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t≤β) cf(z)dz= 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π) 例题1： 03+i 解：参数方程 z=（3+i）t 03+iz =(3+i)30 =6+263 例题2： 沿曲线y=x2计算0 解： 参数方程 x=ty=t2 或z=t+it2 (0≤t 01+ix =(1+i)[01t =-16+5 1.3定义衍生2 重要积分结果： z=z0+ reiθ ，(0≤θ≤2π) 由参数法可得： cdz(z-z0)n+1=0 cdz(z- 例题1：z=1dz 解： =0 解 =2πi 2.柯西积分定理法： 2.1 柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有： cf(z)dz 2.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。 2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路Γ=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有： Γf(z)dz=cf(z)dz+c1 即cf(z)dz=c1f(z)dz 推论： cf(z)dz=k=1nc 例题：c2z-1z 解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。 c2z-1z2-z =c1 =c11z-1dz+c11 =0+2πi+2πi+0 =4πi 2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)： 定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即 cf(?)d? = z0z1f(?)d? 这里的z 若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且F(z) =f(z).根据定理2.2和2.4可得z0z1f( 例题：求0 解： 函数zcosz在全平面内解析 ∴01zcoszdz = isin i+cosz|0 =ie-