《2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版,带解析)-历年自主招生考试数学试题大全》.docVIP

第 第 PAGE \* MERGEFORMAT 1 页 共 NUMPAGES \* MERGEFORMAT 13 页 2016年清华大学自主招生暨领军计划试题 1．已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ） A． B． C． D．取决于的值 【答案】C 【解析】注意，答案C． 2． 已知的三个内角所对的边为．下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD． 3．已知函数，下列说法中正确的有（ ） A．在点处有公切线 B．存在的某条切线与的某条切线平行 C．有且只有一个交点 D．有且只有两个交点 【答案】BD 【解析】注意到为函数在处的切线，如图，因此答案BD． 4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点．下列说法中正确的有（ ） A．以线段为直径的圆与直线一定相离 B．的最小值为 C．的最小值为 D．以线段为直径的圆与轴一定相切 【答案】AB 【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离；对于选项B，C，设，则，于是，最小值为4．也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误． 5．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．下列说法中正确的有（ ） A．时，满足的点有两个 B．时，满足的点有四个 C．的周长小于 D．的面积小于等于 【答案】ABCD． 【解析】对于选项A，B，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点；对于选项C，的周长为；选项D，的面积为． 6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】BD 【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD． 7．已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．以下说法正确的有（ ） A．四点共圆 B．四点共圆 C．四点共圆 D．以上三个说法均不对 【答案】AC 【解析】对于选项A，即得；对于选项B，若命题成立，则为直径，必然有为直角，不符合题意；对于选项C，即得．答案：AC． 8．是为锐角三角形的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】必要性：由于， 类似地，有，于是． 不充分性：当时，不等式成立，但不是锐角三角形． 9．已知为正整数，且，那么方程的解的组数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，故． 若，则，可得； 若，则，可得； 若，则，进而解得； 若，则，可得． 答案：B． 10．集合，任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 11．已知，则下列各式中成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】令，则，所以，以上三式相加，即有． 类似地，有，以上三式相加，即有．答案BD． 12．已知实数满足，则的最大值也最小值乘积属于区间（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数，则其导函数，作出的图象，函数的图象在处的切线，以及函数的图象过点和的割线，如图，于是可得，左侧等号当或时取得； 右侧等号当时取得．因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为．答案B． 13．已知，则下列结论正确的有（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 14．数列满足，对任意正整数，以下说法中正确的有（ ） A．为定值 B．或 C．为完全平方数 D．为完全平方数 【答案】ACD 【解析】因为，选项A正确；由于，故，又对任意正整数恒成立，所以，故选项C、D正确．计算前几个数可判断选项B错误． 说明：若数列满足，则为定值． 15．若复数满足，则可以取到的值有（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为，故，等号分别当和时取得．答案CD． 16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（